Γραμμική Άλγεβρα Ι
Ανδρέας Αρβανιτογεώργος
Τί κοινό στοιχείο έχουν μεταξύ τους (α) οι λύσεις ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, (β) οι λύσεις μιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης και (γ) το σύνολο των διανυσμάτων του 3-διάστατου χώρου; Αντικείμενο της Γραμμικής Άλγεβρας είναι η μελέτη της γραμμικής δομής των παραπάνω αντικειμένων.
Οι έννοιες που θα εισαχθούν στο μάθημα αυτό είναι αυτές του διανυσματικού χώρου, της βάσης, διάστασης, γραμμικών απεικονίσεων, του πίνακα μιας γραμμικής απεικόνισης. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε παραδείγματα. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν προτεινόμενες ασκήσεις για λύση, πολλές από αυτές έως μέτριας δυσκολίας.
ΛιγότεραΤί κοινό στοιχείο έχουν μεταξύ τους (α) οι λύσεις ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, (β) οι λύσεις μιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης και (γ) το σύνολο των διανυσμάτων του 3-διάστατου χώρου; Αντικείμενο της Γραμμικής Άλγεβρας είναι η μελέτη της γραμμικής δομής των παραπάνω αντικειμένων.
Οι έννοιες που θα εισαχθούν στο μάθημα αυτό είναι αυτές του διανυσματικού χώρου, της βάσης, διάστασης, γραμμικών απεικονίσεων, του πίνακα μιας γραμμικής απεικόνισης. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε παραδείγματα. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν προτεινόμενες ασκήσεις για λύση, πολλές από αυτές έως μέτριας δυσκολίας.
Τί κοινό στοιχείο έχουν μεταξύ τους (α) οι λύσεις ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, (β) οι λύσεις μιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης και (γ) το σύνολο των διανυσμάτων του 3-διάστατου χώρου; Αντικείμενο της Γραμμικής Άλγεβρας είναι η μελέτη της γραμμικής δομής των παραπάνω αντικειμένων.
Οι έννοιες που θα εισαχθούν στο μάθημα αυτό είναι αυτές του διανυσματικού χώρου, της βάσης, διάστασης, γραμμικών απεικονίσεων, του πίνακα μιας γραμμικής απεικόνισης. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε παραδείγματα. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν προτεινόμενες ασκήσεις για λύση, πολλές από αυτές έως μέτριας δυσκολίας.
Παρουσάζεται η διάρθρωση του μαθήματος.
Παρουσιάζονται οι τίτλοι των κεφαλαίων. Με την ευκαιρία αυτή κάνουμε μια σύντομη ξενάγηση στη βιβλιογραφία. Υπάρχουν πάρα πολλά βιβλία γραμμικής άλγεβρας και ο αναγνώστης θα ωφεληθεί από οποιοδήποτε και να μελετήσει. Συνεπώς, η επιλογή της παρούσας βιβλιογραφίας έχει να κάνει σε μεγάλο βαθμό με την προσωπική προτίμηση του συγγραφέα.
Το βιβλίο των S. Lipschutz - M. Lipson Linear Algebra,είναι ένα ευκολοδιάβαστο βιβλίο με πολλά παραδείγματα που βοηθάει τον αναγνώστη να αποκτήσει μια σύντομη πρακτική στον κλάδο.
Το βιβλίο των S. H. Friedberg - A. J. Insel - L. E. Spence Linear Algebraαπευθύνεται σε φοιτητές μαθηματικών και παρουσιάζει μια καλή θεμελίωση του κλάδου.
Μια πιο προχωρημένη προσέγγιση και σίγουρα για δεύτερο διάβασμα της γραμμικής άλγεβρας, παρουσιάζεται στο πολύ καλό βιβλίο του H. E. Rose Linear Algebra: A Pure Mathematical Approach.
Μια εναλλακτική προσέγγιση για μαθηματικούς δίνεται στο βιβλίο του S. AxlerLinear Algebra Done Right. Για παράδειγμα, οι ορίζουσες είναι δυνατόν να οριστούν μετά τη διαγωνιοποίηση γραμμικών τελεστών.
Το βιβλίο του F. Zhang Linear Algebra. Challenging Problems for Students περιέχει ενδιαφέροντα προβλήματα, με συνοπτικές λύσεις.
Δίνουμε τον ορισμό του διανυσματικού χώρου, διανυσματικού υπόχωρου, γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας διανυσμάτων και της βάσης, διάστασης ενός διανυσματικού χώρου.
Οι σημαντικές απεικονίσεις μεταξύ διανυσματικών χώρων ονομάζονται γραμμικές απεικονίσεις. Οι απεικονίσεις αυτές διατηρούν τη δομή μεταξύ των διανυσματικών χώρων που ορίζονται. Το σημαντικό αποτέλεσμα του κεφαλαίου είναι ότι κάθε γραμμική απεικόνιση μεταξύ διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διάστασης παριστάται με έναν πίνακα. Ο πίνακας αυτός εξαρτάται από την επιλογή των αντίστοιχων βάσεων, αλλά χρησιμοποιώντας τον πίνακα αλλαγής βάσης, κάθε πρόβλημα σχετικά με μια γραμμική απεικόνιση, ουσιαστικά ανάγεται στην μελέτη του αντίστοιχου πίνακά της.
Στο κεφάλαιο αυτό αναπτύσσουμε τη θεωρία γραμμικών συστημάτων. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε τις στοιχειώδεις πράξεις πινάκων.
Παρουσιάζουμε τον ορισμό της ορίζουσας ενός πίνακα και δίνουμε τρόπους υπολογισμού της.
Μελετάμε το πρόβλημα πότε ένας γραμμικός τελεστής ή πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιμος. Για γραμμικό τελεστή αυτό σημαίνει ότι ο αντίστοιχος διανυσματικός χώρος περιέχει μια βάση ώστε ο πίνακάς της να είναι διαγώνιος. Για πίνακες, σημαίνει ότι ο πίνακας είναι όμοιος με έναν διαγώνιο πίνακα. Οι ορισμοί είναι συμβατοί μεταξύ τους. Πολλά προβλήματα γραμμικής άλγεβρας ανάγονται σε προβλήματα διαγωνιοποίησης.
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 0
Αρ. Προβολών : 0
