Μάθημα : Γεωμετρία Ι

Σκοπός του μαθήματος αυτού είναι η γενίκευση της θεωρίας των επιφανειών σε χώρους μεγαλύτερης διάστασης, οι οποίοι ονομάζονται διαφορικές ή λείες πολλαπλότητες (differential/smooth manifolds).  Σε γενικές γραμμές μια λεία πολλαπλότητα είναι ένας τοπολογικός χώρος ο οποίος τοπικά είναι Ευκλείδειος.  Ο τελικός στόχος είναι να οριστούν σε μια πολλαπλότητα έννοιες που έχουν οριστεί σε μια επιφάνεια, όπως εφαπτόμενο διάνυσμα, εφαπτόμενος χώρος, λεία απεικόνιση, διανυσματικό πεδίο, καμπυλότητα, κλπ.  Η βασική δυσκολία είναι ότι ενώ μια επιφάνεια βρίσκεται εκ των προτέρων στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, άρα υπό μία έννοια κληρονομεί τη γεωμετρία του, δεν συμβαίνει το ίδιο και με μια πολλαπλότητα.