Ακολουθίες και Σειρές

Ακολουθίες : μία (άπειρη) ακολουθία πραγματικών αριθμών u₁,...,u_n =(u_n) είναι μία συνάρτηση της μεταβλητής n που είναι φυσικός αριθμός. u_n ονομάζεται γενικός όρος της ακολουθίας. Συνήθως μια ακολουθία ορίζεται από τον γενικό της όρο. Μία ακολουθία μπορεί όμως να δίνεται και ως μία αναδρομική σχέση δεδομένων κάποιων από τους πρώτους όρους. Κλασσικά παραδείγματα είναι οι εξής περιπτώσεις: 1) Όροι της ακολουθίας αποτελούν αριθμητική πρόοδο με u₁=α (σταθερά) και u_n=u_n-1+w (w ονομάζεται  λόγος και δεν είναι 0). u_n γράφεται και u₁+(n-1)w.    2)Όροι της ακολουθίας αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με u₁=α και u_n=wu_n-1, ή αλλοιώς u_n=w^n-1u₁. 

Η ακολουθία (u_n) είναι αύξουσα (αυστηρώς αύξουσα) αν u_n<=u_n+1 (u_n<u_n+1) και είναι φθίνουσα αν u_n>=u_n+1 (u_n>u_n+1).   

Μία ακολουθία είναι φραγμένη αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί μ και Μ (μ<Μ) έτσι ώστε ο γενικός όρος να βρίσκεται μεταξύ μ και Μ.

Έστω l το όριο της ακολουθίας (όταν n τείνει στο άπειρο). Το όριο αυτό, εφόσον υπάρχει, είναι μοναδικό.

Αν l δεν είναι γνωστό τότε χρησιμοποιούμε το κριτήριο Cauchy για να διαπιστώσουμε αν η ακολουθία συγκλίνει. Κριτήριο: για ε>0 οσοδήποτε μικρό υπάρχει Ν τέτοιο ώστε |u_m-u_n|<ε για οποιαδήποτε m και n>N, και η ακολουθία (u_n)  ονομάζεται "ακολουθία Cauchy". Μία ακολουθία είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν είναι ακολουθία Cauchy.

Ιδιότητες της (u_n) : α) Αν είναι φραγμένη τότε είναι απόλυτα φραγμένη και αντιστρόφως.  β) Αν συγκλίνει τότε είναι φραγμένη (ή αντίστοιχα αν δεν είναι φραγμένη τότε δεν συγκλίνει).  γ) Αν είναι αύξουσα και φραγμένη εκ των άνω τότε συγκλίνει. Αν είναι φθίνουσα και φραγμένη εκ των κάτω τότε επόσης συγκλίνει.  δ) Ότι ισχύει για πράξεις ορίων στις συναρτήσεις ισχύει και στις ακολουθίες.