Επεξεργασία Σημάτων και Γραφήματα

Σκοπός του μαθήματος είναι η απόκτηση των γνώσεων που απαιτούνται για τη δημιουργία ενός κατάλληλου υποβάθρου να αναλύσουν και να ορίσουν προβλήματα επεξεργασίας σημάτων με χρήση γραφημάτων αναπαριστώντας με φυσικό τρόπο την δομή των σημάτων όπως π.χ. την πολυτροπικότητα (λήψη από διαφορετικά είδη αισθητήρα), την τοποθεσία λήψης και επεξεργασίας της πληροφορίας ή την χρονική εξάρτηση. Επίσης θα είναι σε θέση να εμπεδώσουν και στη συνέχεια να μεταφέρουν και να γενικεύσουν τις βασικές αρχές της επεξεργασίας σημάτων σε προβλήματα στα οποία μπορεί να αναπαρασταθούν τα δεδομένα με χρήση γραφημάτων. Τέτοια προβλήματα είναι τα προβλήματα που εμπεριέχουν την απόκτηση δεδομένων μέσω δικτύων αισθητήρων, κατανεμημένων επεξεργαστών, κοινωνικών δικτύων, χρονοσειρών, κ.λπ. 

. Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ένας φοιτητής  θα είναι σε θέση να:

• εφαρμόσει τα βασικά στοιχεία της θεωρίας των γραφημάτων σε σήματα
• κατανοήσει τη φυσική σημασία της αναπαράστασης σημάτων με γραφήματα (πολυτροπικότητα, χρονική/χωρική εγγύτητα κλπ)
• κατανοήσει τον ορισμό συστημάτων σε γραφήματα και την γενίκευσή τους από την κλασσική θεωρία σημάτων και συστημάτων (τύποι συστημάτων, μετασχηματισμός Ζ, σχεδίαση φίλτρων)
• κατανοήσει την μαθηματική αλλά και την φυσική σημασία των σημάτων που αναπαρίστανται με γραφήματα, τόσο στο πεδίο των κόμβων όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων
• να γενικεύσει τις έννοιες των στοχαστικών διαδικασιών σε γραφήματα
• να είναι σε θέση να αντιληφθεί τις έννοιες της δειγματοληψίας και της ανακατασκευής σε γραφήματα
• να αντιλαμβάνεται την λειτουργία νευρωνικών δικτύων σε γραφήματα
• να μπορεί να αναπτύξει τα κατάλληλα γραφήματα από σήματα.
• να μπορεί να αναπτύσσει εφαρμογές που κάνουν χρήση γραφημάτων με εργαλεία λογισμικού.

Το περιεχόμενο του μαθήματος αφορά κυρίως:

1.Ανασκόπηση Θεωρίας Γραφημάτων: Βασικοί ορισμοί, Ιδιότητες των Γραφημάτων και των συναναστρεφόμενων μητρώων, Μητρώο Γειτνίασης και Λαπλασιανό (Laplacian) και η αποσύνθεση ιδιοτιμών των, ταξινόμηση, χρωματισμός και κατάτμηση του συνόλου κορυφών ενός γραφήματος, παραδείγματα, κ.α.

 2.0. Θεμελίωση της Κλασσικής Επεξεργασίας Γραφημάτων: Απεικόνιση ενός σήματος διακριτού χρόνου σε μορφή γραφήματος, ολίσθηση σήματος πάνω σε γράφημα, από ένα προς ένα απεικονίσεις σε ένα προς πολλά

2.1. Μετασχηματισμός Fourier σε γραφήματα (GFT): Από τον DFT στον GFT και πάλι στον DFT ως ειδική περίπτωσή του, Φάσμα Γραφήματος, ο αντίστροφος μετασχηματισμός (IGFT)

2.2. .Ορισμός Συστήματος σε Γραφήματα: Γραμμικά Αμετάβλητα σε Ολισθήσεις Συστήματα, Συνέλιξη, Μετασχηματισμός-Ζ Γραφήματος, Συνάρτηση Μεταφοράς Συστήματος, Σχεδίαση Φίλτρων και φιλτράρισμα σημάτων σε γραφήματα

3. Στατιστική Επεξεργασία Γραφημάτων: Βασικές Έννοιες Στοχαστικών Διαδικασιών Ορισμός της Στασιμότητας με βάση το Μητρώο Γειτνίασης και το Laplacian, Ορισμός των Στάσιμων με την ευρεία έννοια Γραφημάτων με βάση την Ολίσθηση στον Χώρο του Φάσματος, Φίλτρα Wiener σε Γραφήματα, Περιοδόγραμμα, Μοντέλα Κινητού Μέσου, Αυτοπαλινδρόμησης, Αυτοπαλινδρόμησης και Κινητού Μέσου

4. Δειγματοληψία στον χώρο των κόμβων. Δειγματοληψία στον χώρο συχνοτήτων του γραφήματος. Ανακατασκευή γραφήματος.

5. Ανάπτυξη γραφημάτων από δεδομένα. Προσεγγίσεις βασισμένες σε μοντέλα φυσικού κόσμου. Παρουσίαση στατιστικών προσεγγίσεων (Markov Random Fields, δίκτυα Bayes). Μοντέλα βασισμένα στον περιορισμό της συνέχειας.

6. Συνελικτικά νευρωνικά δίκτυα με χρήση γραφημάτων. Συναρτήσεις ενεργοποίησης. Πολυεπίπεδα δίκτυα.

7. Εφαρμογές. Τοποθέτηση αισθητήρων. Συμπλήρωση πίνακα. Δειγματοληψία 3Δ νέφους σημείων. Αναπαράσταση εικόνων και χρονοσειρών.