Μάθημα : Διαφορική Γεωμετρία

Η πιο σημαντική έννοια της στοιχειώδους διαφορικής γεωμετρίας είναι η καμπυλότητα Gauss μιας κανονικής επιφάνειας Μ.  Αυτή είναι μια πραγματική συνάρτηση Κ επί της Μ που πολύ σύντομα την ορίζουμε ως εξής: Ο ρίζουμε αρχικά την απεικόνιση Gauss Ν: M --> S² και στη συνέχεια το τελεστή σχήματος S_p : T_pM --> T_pM, S_p = -dN_p  σε κάθε σημείο p της Μ.  O τελεστής σχήματος είναι αυτοσυζυγής τελεστής ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή άρα ο πίνακάς του (ως προς μια βάση μιας τοπικής παραμέτρησης στο p) είναι συμμετρικός.  Ο πίνακας αυτός (γνωστός και ως πίνακας Weingarten) καθορίζει τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης e, f, g.  Η ορίζουσα και το ίχνος του πίνακα αυτού ονομάζονται καμπυλότητα Gauss Κ και μέση καμπυλότητα Η της επιφάνειας Μ.  Τα Κ και Μ αποτελούν πραγματικές συναρτήσεις επί της Μ.  Δίνουμε και γεωμετρική ερμηνεία της καμπυλότητας Gauss μια ο τρόπος ορισμού της αν και απλός στερείται εποπτείας.  Στη συνέχεια ορίζουμε τις κύριες καμπυλότητες k₁  και k₂ της Μ, οι οποίες προκύπτει ότι είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα του τελεστή σχήματος.  Αποδεικνύουμε τον τύπο του Euler και κάνουμε αναφορά σε μη Ευκλείδειες γεωμετρίες.