Παρουσίαση/Προβολή

(MATH927) -  Ανδρέας Αρβανιτογεώργος

Περιγραφή Μαθήματος

Αν και η τελική βλέψη του μαθήματος αυτού είναι η έννοια της λείας (ή διαφορικής) πολλαπλότητας, η έννοια αυτή θα μας απασχολήσει προς το τέλος του μαθήματος.  Σε γενικές γραμμές μπορούμε να πούμε ότι μια λεία πολλαπλότητα είναι ένας τοπολογικός χώρος ο οποίος τοπικά είναι όμοιος με ένα το Ευκλείδειο χώρο Rⁿ. Ακολουθώντας την προσέγγιση που έχουμε στη θεωρία επιφανειών του R³ θέλουμε να ορίσουμε έννοιες εφαπτόμενου διανύσματος, εφαπτόμενου χώρου, διαφορίσιμης απεικόνισης, διαφορικο απεικόνισης, αλλά και ολοκληρώματος σε μια πολλαπλότητα.

Στην προσπάθειά μας αυτή πρέπει να αναθεωρήσουμε τις απόψεις για τα αντικείμενα αυτά, αλλά και να ορίσουμε νέα αντικείμενα όπως αυτά των διαφορικών μορφών.  Οι ορισμοί μας δεν θα πρέπει πλέον να εξαρτώνται από συστήματα συντεταγμένων.  Ο λόγος είναι ότι, για παράδειγμα, το  ολοκήρωμα μιας συνάρτησης εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων, οπότε σε μια πολλαπλότητα οι προς ολοκλήρωση ποσότητες δεν θα είναι οι συναρτήσεις αλλά οι διαφορικές μορφές, οι οποίες θα αποτελέσουν τα δυϊκά αντικείμενα των διανυσμάτων.

Επιπλέον θα δώσουμε εξήγηση για εκφράσεις της μορφής df = f_x dx + f_y dy +f_z dz οι οποίες προκαλούν προβληματισμό ως προς την οντότητα τους.

Για τους λόγους αυτούς θα ασχοληθούμε αρκετά με την έννοια της εξωτερικής άλγεβρας (ή άλγεβρας του Grassmann), πολυγραμμικές μορφές και διαφορικές μορφές στον Ευκλείδειο χώρο Rⁿ.

Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν προτεινόμενες ασκήσεις για λύση, πολλές από αυτές έως μέτριας δυσκολίας.

Ημερομηνία δημιουργίας

Πέμπτη, 26 Ιουλίου 2012