Παρουσίαση/Προβολή

(MATH913) -  Ανδρέας Αρβανιτογεώργος

Περιγραφή Μαθήματος

Περί το 300 π.Χ. ο Ευκλείδης έγραψε το περίφημο έργο του ?Στοιχεία? σε δεκατρία βιβλία, το οποίο αποτέλεσε τη βασική γνώση γεωμετρίας του δυτικού κόσμου για πάνω από 2000 χρόνια. Η Ευκλείδεια γεωμετρία λοιπόν είναι η γεωμετρία η οποία προκύπτει υποθέτοντας τα πέντε αξιώματα του Ευκλείδη, συμπεριλαμβανομένου του αιτήματος των παραλλήλων.

Αντικείμενο του μαθήματος Διαφορική Γεωμετρία είναι η μελέτη των καμπυλών και επιφανειών στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο όπως αυτή αναπτύχθηκε από τον Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Η συνεισφορά του Gauss σε συνδυασμό με τις εργασίες των J?nos Bolyai (1802-1860) και NikolaiIvanovichLobachevsky (1792-1856) οδήγησε στην ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών.  Το γεγονός αυτό έδωσε θετική λύση σε ένα από τα πιο φημισμένα μαθηματικά προβλήματα, στο κατά πόσον δηλαδή το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη είναι ανεξάρτητο των τεσσάρων υπολοίπων αξιωμάτων της θεωρίας.

Η μελέτη της θεωρίας των καμπυλών και επιφανειών όπως θα παρουσιαστεί στο μάθημα αυτό, θα βασίζεται στη θεωρία λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και θα έχει μια ματιά προς τους πιο γενικούς χώρους που είναι αντικείμενο της σύγχρονης διαφορικής γεωμετρίας, τις διαφορικές πολλαπλότητες.

Μερικά ερωτήματα που θα απαντηθούν στο μάθημα είναι τα εξής:  Πώς μπορούμε να μετρήσουμε την καμπυλότητα μιας καμπύλης στο επίπεδο ή στον χώρο;  Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την καμπυλότητα μιας επιφάνειας;    

Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν προτεινόμενες ασκήσεις για λύση, πολλές από αυτές έως μέτριας δυσκολίας.

Ημερομηνία δημιουργίας

Τρίτη, 28 Ιουνίου 2011