Anteprima

(CEID1066) -  Ευστράτιος Γαλλόπουλος

Descrizione del Corso

Γενικές Πληροφορίες

Μάθημα: Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης (κωδικός 23Υ209 - παλαιότεροι κωδ. ΝΥ240 & Y240)

Τμήμα: Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής, Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστημίου Πατρών

Διδάσκοντες (Εαρ. 2025): Ε. Γαλλόπουλος, Καθηγητής, Δρ. Ευγενία Κοντοπούλου, Διδάσκουσα ΠΔ 407/80, Ε. Στεφανόπουλος, Καθηγητής

Εξάμηνο: Μάθημα κορμού (υποχρεωτικό) 4ου εξαμήνου

Διδακτικές Μονάδες/ECTS: 6 ECTS (3 Διαλ., 1 Φροντιστήριο, 1+1 Εργαστήριο)

Αίθουσα (εαρ. 2025): Αμφιθέατρο Γ. Τετάρτη 4-7μμ. Πέμπτη 5-7μμ. 

'Ωρες συνεργασίας: Ε. Κοντοπούλου: Τετάρτη 13:30-15:30. Ε. Γαλλόπουλος: Τετάρτη, Πέμπτη 19:00-20:15. Επιπλέον, κατόπιν συνεννόησης (μέσω Μηνύματος στο eclass), είναι δυνατή η διοργάνωση συνάντησης σε άλλες ώρες.

Περιγραφή - Τι και Γιατί? (Α) Κατ΄αρχήν σημειώνουμε ότι σε όλες τις Επιστήμες και στην Τεχνολογία, επιβαλλεται η χρήση υπολογιστή για να επιλύσουμε προβλήματα 1) γιατί είναι ασύμφορο να το κάνουμε χειρονακτικά (πολλοί υπολογισμοί), 2) γιατί η επίλυση των μαθηματικών προβλημάτων με αναλυτικούς τύπους είναι ανέφικτη (σκεφτείτε ότι ακόμα και κάτι τόσο απλό όσο η εύρεση των ριζών πολυωνύμων 5ου βαθμού και άνω δεν μπορεί να γίνει με αναλυτικούς τύπους ή με αλληλουχίες τύπων - αυτό είναι γνωστό από τον 18ο αιώνα!). Πόσο μάλλον η επίλυση των πολύπλοκων μαθηματικών μοντέλων που προτείνονται για την περιγραφή του κόσμου (της φύσης, της κοινωνίας, της οικονομίας, κ.λπ).

(Β) Είτε ενδιαφερόμαστε για απλούς μαθηματικούς υπολογισμούς που γίνονται σε λογιστικά φύλλα είτε για υπολογισμούς μεγάλης κλίμακας σε υπερυπολογιστές με τους οποίους επιλύονται οι μαθηματικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για να μοντελοποιήσουν τη φύση και την κοινωνία, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με τα πολλά προβλήματα που δημιουργούνται από το γεγονός ότι: 1) όλοι οι αριθμοί στον υπολογιστή αναπαρίστανται αναγκαστικά από ένα πεπερασμένο σε πλήθος υποσύνολο των πραγματικών, υποσύνολο και των ρητών, "με αρχή, μέση και τέλος?. Συνέπεια της "αρχής του περιστερώνα? είναι ένα σωρό αξιοπερίεργα φαινόμενα, όπως ότι οι άρρητοι απεικονίζονται (στρογγυλεύονται) σε ρητούς, ότι υπάρχει θετικός αριθμός ε τέτοιος ώστε, στην αριθμητική του υπολογιστή, 1+ε=1, και πολλά άλλα. 2) Στον υπολογιστή δεν υπάρχει η έννοια του απειροστικού, ούτε διαδικασιών με άπειρο αριθμό βημάτων, οπότε δεν έχουμε ακριβή αντιστοιχία της έννοιας του ορίου και κατά συνέπεια των πράξεων της παραγώγισης, της ολοκλήρωσης και της άθροισης συγκλινουσών απειροσειρών. Επομένως, αλλάζει όλο το ?σκηνικό? του απειροστικού και ολοκληρωματικού λογισμού.

Κατά συνέπεια των (Α, Β), όταν επιλύουμε προβλήματα στον υπολογιστή, μαθηματικά ισοδύναμες εκφράσεις, αναπαραστάσεις, διαδικασίες, τρόποι υπολογισμού κ.λπ. παύουν να είναι ισοδύναμες. Ειδικότερα, μπορεί να έχουν πολύ διαφορετικές ιδιότητες όσον αφορά στην ακρίβειά (το αποτέλεσμα είναι προσέγγιση και κάθε προσέγγιση έχει διαφορετική απόκλιση από την θεωρητική λύση) και στην ταχύτητα με την οποια υπολογίζουν το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, σειρές που συγκλίνουν θεωρητικά μπορεί να μη συγκλίνουν, σειρές που αποκλίνουν μπορεί να τερματίζουν με πεπερασμένο αποτέλεσμα, και εντέλει να έχουμε 1+1=1 ?., διαφορετικές σειρές με ίδιο αποτέλεσμα να συγκλίνουν με διαφορετικούς ρυθμούς (επομένως κάποιοι πιο γρήγορα), κ.λπ. Επίσης, υλοποιήσεις που διαφέρουν στις λεπτομέρειες μπορεί να οδηγούν σε πολύ διαφορετικά αποτελέσματα!

Βασικός στόχος της Αριθμητικής Ανάλυσης είναι ο σχεδιασμός και η υλοποίηση αυτοματοποιημένων και διαδικασιών με τις οποίες να υπολογίζονται πρακτικά αξιόπιστες προσεγγίσεις των προβλημάτων εκείνων που για τους παραπάνω λόγους δεν μπορούν ή δεν είναι πρακτικό να υπολογιστούν ακριβώς με το χέρι. Επειδή οι επιλογές δεν είναι ισοδύναμες,  η Αριθμητική Ανάλυση μελετά και εντοπίζει τις διαφορές και αναδεικνύει τα χαρακτηριστικά τους ώστε να βοηθά τον χρήστη στην επιλογή του τρόπου επίλυσης και στην εξαγωγή συμπερασμάτων όσον αφορά στην αξιοπιστία των αποτελεσμάτων. Στόχος του συγκεκριμένου μαθήματος είναι και ο σχεδιασμός και υλοποίηση λογισμικού από υπολογιστικά εργαλεία (μεθόδους, βιβλιοθήκες και περιβάλλοντα) για τους χρήστες.

Creation Date

lunedì 15 settembre 2014