ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ/ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

Παρατίθεται μια σύντομη εισαγωγή σε βασικές ηλεκτροστατικές έννοιες. 

Ο νόμος Coulomb περιλαμβάνει "ολοκλήρωση σε όλο το σύμπαν" (όταν κάνουμε λόγο για συνεχείς κατανομές). Στην ηλεκτροστατική όμως, η πλειοψηφία των προβλημάτων περιλαμβάνει συνοριακές συνθήκες. Για την αντιμετώπιση τέτοιων προβλημάτων χρησιμοποιείται το θεώρημα Green.

Γνωρίζοντας την έκφραση για τον προσδιορισμό του δυναμικού με βάση τα θεωρήματα Green, το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση κάθε φορά της κατάλληλης συνάρτησης Green. Ένας τρόπος για τον υπολογισμό της είναι η μέθοδος των ειδώλων.

Δίνονται ορισμένα προβλήματα σφαιρικής γεωμετρίας και στην συνέχεια η μορφή της Green για την περίπτωση σφαίρας.

Η εξίσωση Laplace για το δυναμικό χρησιμοποιείται στην περίπτωση που η περιοχή ενδιαφέροντος δεν περιλαμβάνει φορτία και υπάρχουν συνοριακές επιφάνειες, στις οποίες γνωρίζουμε το δυναμικό.

Παρουσιάζεται η εξίσωση Laplace σε πολικές συντεταγμένες και μια αντίστοιχη εφαρμογή με κύλινδρο απείρου μήκους. Έχουμε πει ότι όταν μία από τις τρεις διαστάσεις απειρίζεται, το πρόβλημα ανάγεται σε διδιάστατο.

Η ενότητα παραθέτει μια ακόμη εφαρμογή σε πολικές συντεταγμένες και μελετά την εξίσωση Laplace σε σφαιρικές.

Αζιμουθιακή συμμετρία θα έχουμε όταν η λύση περιλαμβάνει όλο το εύρος των τιμών της γωνίας φ. Στα προβλήματα αζιμουθιακής συμμετρίας δεν υπάρχει εξάρτηση των συνοριακών συνθηκών από την γωνία φ. Ένα σημαντικό πρόβλημα αζιμουθιακής συμμετρίας είναι αυτό του δυναμικού μοναδιαίου φορτίου. Το δυναμικό μοναδιαίου φορτίου παίζει σημαντικό ρόλο σε ό,τι αφορά τις συναρτήσεις Green. Επομένως αν καταφέρουμε να το εκφράσουμε σε ανάπτυγμα πολυωνύμων Legendre, θα ήταν αρκετά χρήσιμο.

Όταν επιλύουμε προβλήματα στα οποία υπάρχουν κατανομές φορτίου και συνοριακές επιφάνειες, θα ήταν αρκετά χρήσιμο από μαθηματικής πλευράς, να εκφράζαμε την Green συναρτήσει σφαιρικών αρμονικών.

Δίνονται μερικές ακόμη εφαρμογές στις σφαιρικές συντεταγμένες και επιλύεται η Laplace στις κυλινδρικές.

Σε προηγούμενη ενότητα είχαμε λύσει το πρόβλημα εύρεσης δυναμικού για κύλινδρο. Εξ' αιτίας της ανεξαρτησίας του προβλήματος από την συνιστώσα z, αυτό ανάχθηκε σε πρόβλημα πολικών συντεταγμένων. Τώρα επανερχόμαστε στο πρόβλημα, χωρίς όμως να υπάρχει η ανεξαρτησία από την z συνιστώσα.

Η χρήση ιδιοσυναρτήσεων αποτελεί έναν εναλλακτικό τρόπο προσδιορισμού της Green. Επίσης δίνεται ένα πρόβλημα μεικτών συνοριακών συνθηκών (συνύπαρξη Dirichlet και Neumann).

Όταν η κατανομή φορτίου είναι πολύπλοκη, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της πολυπολικής ανάπτυξης του δυναμικού, προκειμένου να δοθεί μια προσεγγιστική λύση. "Πολύ μακρυά", η κατανομή συμπεριφέρεται σαν σφαίρα ή σημειακό φορτίο. Μπορούμε λοιπόν να αναπτύξουμε το δυναμικό σε σφαιρικές αρμονικές και να κρατήσουμε τους πρώτους όρους. Αυτό αποτελεί μια πολύ καλή προσέγγιση. Εκτός απο σφαιρικές, πραγματοποιούμε πολυπολική ανάπτυξη και σε καρτεσιανές συντεταγμένες, για να γίνει πιο ξεκάθαρη η φυσική σημασία ορισμένων ποσοτήτων (πχ πολυπολικών ροπών).

Εφαρμόζουμε την πολυπολική ανάπτυξη και για την δυναμική ενέργεια. Στην συνέχεια θέλουμε να υπολογίσουμε τα πεδία παρουσία υλικών. Αυτό επιτυγχάνεται με βάση την πολυπολική ανάπτυξη.

Παρατίθενται ορισμένες εφαρμογές στα διηλεκτρικά για την καλύτερη κατανόηση της θεωρίας.

Ό,τι έχουμε αναφέρει μέχρι στιγμής βρίσκει εφαρμογή στην ηλεκτροστατική, δηλαδή στατικά φορτία δημιουργούν στατικά πεδία. Στην μαγνητοστατική, τα ηλεκτρικά φορτία κινούνται, αλλά κινούνται με τέτοιον τρόπο ώστε να προκαλούν στατικά μαγνητικά πεδία. Παραθέτονται κάποιοι βασικοί νόμοι της μαγνητοστατικής καθώς και η πολυπολική ανάπτυξη. Όπως και στην ηλεκτροστατική, έτσι και στην μαγνητοστατική, την εφαρμόζουμε όταν θέλουμε να προσδιορίσουμε τα πεδία "πολύ μακρυά".

Μέχρι στιγμής εξετάσαμε την μαγνητοστατική στο κενό. Αν όμως έχουμε μια κατανομή ρεύματος μέσα σε υλικό, τότε πρέπει να λάβουμε υπ' όψη επιπλέον φαινόμενα, που σχετίζονται με την απόκριση του υλικού στο μαγνητικό πεδίο.

Οι νόμοι Maxwell περιγράφουν πλήρως το σύνολο της ηλεκτροδυναμικής. Ακόμη παρουσιάζονται οι βαθμίδες Coulomb και Lorentz. Η κεντρική ιδέα των μετασχηματισμών βαθμίδας είναι ότι υπάρχει η δυνατότητα να μεταβάλλουμε τις τιμές του βαθμωτού και διανυσματικού δυναμικού κατά τέτοιον τρόπο, έτσι ώστε οι τιμές των πεδίων (που είναι και οι μόνες μετρούμενες φυσικές ποσότητες) να παραμένουν αναλλοίωτες.

Στην ενότητα παρουσιάζεται η εξαγωγή της συνάρτησης Green για την κυματική εξίσωση. Οι κυματικές εξισώσεις που υπακούουν τα πεδία στην βαθμίδα Lorentz μπορούν να θεωρηθούν ως το τετραδιάστατο ανάλογο της εξίσωσης Poisson. Η τέταρτη συντεταγμένη είναι φυσικά ο χρόνος. Το θεώρημα Poynting εκφράζει την αρχή διατήρησης της ενέργειας.

Σε αυτήν την ενότητα γίνεται λόγος για διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων απουσία πηγών. Εξετάζεται η ανάκλαση και διάθλαση σε διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δύο διηλεκτρικών.

Ολοκληρώνεται η μελέτη που αφορά την εξαγωγή συμπερασμάτων για την ανάκλαση και διάθλαση κυμάτων σε διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δύο διηλεκτρικών. Ακόμη, παρατίθεται ένα απλό μοριακό μοντέλο που αφορά την έκφραση της διηλεκτρικής σταθεράς. Υπάρχει η περίπτωση όπου το υλικό αποκρίνεται με διαφορετικό τρόπο σε διαφορετικές συχνότητες. Προσπαθούμε να εκφράσουμε την συμπεριφορά της διηλεκτρικής σταθεράς για τις διάφορες συχνότητες. Μια πολύ καλή προσέγγιση είναι το κλασικό μοριακό μοντέλο.

Το κυματοπακέτο αποτελεί την γενική λύση της κυματικής εξίσωσης. Στην ενότητα εξάγονται και οι σχέσεις Kramers-Kronig, που αποτελούν εκφράσεις του πραγματικού και φανταστικού μέρους της διηλεκτρικής σταθεράς. Οι κυματοδηγοί είναι κατασκευές στις οποίες το κύμα διαδίδεται κατά μήκος δεδομένου άξονα.