Μαθηματική Ανάλυση

Γεώργιος Μπροδήμας

Περιγραφή

Το Μάθημα αυτό απευθύνεται σε πρωτοετείς φοιτητές τμήματος Φυσικής οι οποίοι διαθέτουν κάποια σχετική γνώση των περιεχομένων εννοιών και μεθόδων.

Γνώση που ποικίλει από χρονιά σε χρονιά ανάλογα με την ύλη που διδάχθηκαν στο Λύκειο.

Ομοίως προσαρμοσμένη είναι και η διδασκαλία του μαθήματος.

Οι νέες έννοιες διδάσκονται από μηδενική βάση ενώ, στα ήδη γνωστά από το Λύκειο, προστίθεται και η επί πλέον απαραίτητη γνώση.

Τελικός σκοπός είναι ο φοιτητής ενός τμήματος Φυσικής να έχει κατανοήσει τις Βασικές έννοιες του Απειροστικού Λογισμού αλλά κυρίως να έχει μια καλή γνώση της αξιοποίησής τους από την Φυσική.

Τέλος η μελέτη των όσων αναφέρονται συνιστάται να γίνει με την βοήθεια των Λυκειακών Εγχειριδίων.

CC - Αναφορά - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή

Ενότητες

Ενότητα Α. Ανασκόπηση Βασικών Εννοιών

Α. Βασικές Έννοιες

Στην ενότητα αυτή γίνεται μια αναφορά σε βασικές προαπαιτούμενες Λυκειακές γνώσεις όπως οι έννοιες: Σύνολο, Αριθμοί, Συνάρτηση, Γραφική παράσταση συνάρτησης, Νέες Συναρτήσεις από παλιές, Στοιχεία Τριγωνομετρίας, κ.α.

Στο τέλος αυτής της ενότητας ο φοιτητής θα πρέπει να έχει συμπληρώσει τις βασικές Λυκειακές γνώσεις, που ποικίλουν κάθε χρόνο, με επανάληψη, συμπλήρωση ή επέκταση ήδη γνωστών πραγμάτων.

Πιο συγκεκριμένα θα πρέπει να έχει κατανοήσει ορισμένες επί πλέον ενότητες από την Τριγωνομετρία και την χρήση τους σε υπολογισμούς, Να έχει κατανοήσει την έννοια της Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης και τις πληροφορίες που αυτή μπορεί να δώσει, πως αυτή μεταβάλλεται με την μεταβολή (προσθήκη ή πολλαπλασιαμό) στην βασική μεταβολή ή την συνάρτηση

Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Στο τέλος αυτής της ενότητας ο φοιτητής θα πρέπει να έχει κατανοήσει βασικές έννοιες του Διαφορικού Λογισμού και κυρίως, την χρήση τους στην μελέτη θεμάτων Φυσικής.

Ξεκινά από την έννοια του Ορίου, που θα πρέπει να έχει κατανοήσει τον αυστηρό ορισμό του, την σχέση του ορίου με τα σφάλματα μετρήσεων και το γεγονός ότι ο απειροστικός λογισμός προκύπτει από τις έννοιες της συνάρτησης και του οερίου.

Θα πρέπει να έχει κατανοήσει την έννοια της συνάρτησης και να είναι σε θέση να υπολογίσει την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης.

Να είναι σε θέση να μελετήσει προβλήματα ρυθμού μεταβολής, απλά και σύνθετα όπως και προβλήματα μεγίστου και ελαχίστου.

Να έχει κατανοήσει τις έννοιες της υπερβατικής και της αντίστροφης συνάρτησης και να είναι σε θέση να χρησιμοποιεί τις τριγωνομετρικές, τις λογαριθμικέ και τις υπερβολικές συναρτήσεις, όπως και τις αντίστροφές τους για την μελέτη θεμάτων Φυσικής.

Τέλος θα πρέπει να έχει κατανοήσει βασικές έννοιες από την γραμμική και τετραγωνική προσέγγιση πάντα σε σχέση με την θεωρία σφαλμάτων.

Η Ενότητα Β αποτελείται από τα παρακάτω επι μέρους κεφάλαια:

Β.01 Η ακριβής Εννοια του Ορίου.

Β.02 Η Συνέχεια Συνάρτησης

Β.03 Η Παράγωγος Συνάρτησης

Β.04 Βασικά Θεωρήματα

Β.05 Εφαρμογές

Β.05.1 Μελέτη Συνάρτησης

Β.05.2 Ρυθμοί Μεταβολής

Β.05.3 Μέγιστα και Ελάχιστα

Β.06 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφες.

Β.07 Εκθετικές ? Λογαριθμικές Συναρτήσεις

Β.08 Υπερβολικές Συναρτήσεις και αντίστροφες

Β.09 Το Διαφορικό

Β.10 Αναπτύγματα σε Σειρά

Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Οι φοιτητής θα πρέπει να έχει κατανοήσει τις Βασικές Ιδιότητες του Ολοκληρώματος όπως και τα Βασικά Θεωρήματα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Θα πρέπει να έχει κατανοήσει μια πλήρη μεθοδολογία υπολογισμού ολοκλρωμάτων μιας μεταβλητής και να είναι σε θέση να χρησιμοποιεί αυτές τις δυνατότητες στον υπολογισμό Φυσικών Μεγεθών όπως πίεση Ρευστών, Εργο Μεταβλητής Δύναμης, ?

Η Ενότητα Γ αποτελείται από τα παρακάτω επι μέρους κεφάλαια:

Γ.01 Το Ολοκλήρωμα ? Βασικές Ιδιότητες

Γ.02 Βασικά Θεωρήματα

Γ.03 Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

Γ.04 Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση

Γ.05 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων

Γ.06 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα

Γ.07 Ολοκληρώματα με Ριζικά

Γ.08 Εφαρμογές του Ολοκληρώματος

Γ.08.1 Υπολογισμός Μήκους Τόξου Καμπύλης

Γ.08.2 Υπολογισμός Επίπεδων Εμβαδών

Γ.08.3 Υπολογισμός Εμβαδών εκ Περιστροφής