Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές Διαδικασίες

Νικόλαος Τσάντας

Περιγραφή

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών που αφορά την δημιουργία μαθηματικών μοντέλων για την περιγραφή τυχαίων φαινομένων των οποίων η έκβαση, το αποτέλεσμα, δεν μπορεί να προβλεφτεί με βεβαιότητα. Οι αρχές και οι μέθοδοι της θεωρίας πιθανοτήτων αποτελούν απαραίτητο εργαλείο για κάθε ερευνητή και η σπουδαιότητα της αποδεικνύεται από το μεγάλο εύρος εφαρμογών της σε πολλές περιοχές των εφαρμοσμένων επιστημών. Η ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας, η εκτίμηση των επιδράσεων της σε μελέτες και τα σχέδια ενος μηχανικού καθώς και η λήψη αποφάσεων περιλαμβάνει έννοιες και μεθόδους πιθανοτήτων. Στόχος του μαθήματος είναι η ανάπτυξη δεξιοτήτων για τη μοντελοποίηση και τη μαθηματική αναλυση φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται η τυχαιότητα. Επιπλέον, θα μελετηθούν εισαγωγικές έννοιες της θεωρίας στοχαστικών διαδικασιών, που αποτελεί την δυναμική της θεωρίας πιθανοτήτων.

Ενότητες

  • Μαθηματικά μοντέλα. Η έννοια της τυχαιότητας.
  • Πείραμα τύχης. Δειγματικός χώρος - Δειγματικό σημείο - Η έννοια του ενδεχομένου (γεγονότος).
  • Πράξεις μεταξύ ενδεχομένων.
  • Ορισμός της πιθανότητας. Υποκειμενική προσέγγιση - Κλασική προσέγγιση - Στατιστική προσέγγιση.
  • Αξιωματική προσέγγιση: τα αξιώματα του Kolmogorov.
  • Νόμοι (ιδιότητες) των πιθανοτήτων.
  • Αρχές/Κανόνες Απαρίθμησης.
  • Συνδυασμοί.
  • Διατάξεις - Μεταθέσεις.
  • Η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας.
  • Περιορισμός δειγματικού χώρου και πολλαπλασιαστικός νόμος.
  • Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και Θεώρημα Bayes.
  • Ανεξάρτητα ενδεχόμενα.
  • Ορισμός της Τυχαίας Μεταβλητής (τ.μ.).
  • (Αθροιστική) Συνάρτηση Κατανομής (σ.κ.)
  • Διακριτές και Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές.
  • Ορισμός - Συνάρτηση Πιθανότητας (σ.π.).
  • Μέση τιμή - Διακύμανση - Ροπές.
  • Οι κυριώτερες διακριτές κατανομές:
    • Δοκιμές Bernoulli και διωνυμική κατανομή.
    • Γεωμετρική και αρνητική διωνυμική κατανομή.
    • Υπεργεωμετρική κατανομή.
    • Κατανομή Poisson.
  • Ορισμός - Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας
  • Μέση τιμή - Διακύμανση - Ροπές.
  • Οι κυριώτερες συνεχείς κατανομές:
    • Ομοιόμορφη κατανομή.
    • Εκθετική κατανομή.
    • Γάμμα κατανομή.
    • Κανονική κατανομή.

Ημερολόγιο