Διαφορική Γεωμετρία
Ανδρέας Αρβανιτογεώργος
Περί το 300 π.Χ. ο Ευκλείδης έγραψε το περίφημο έργο του ?Στοιχεία? σε δεκατρία βιβλία, το οποίο αποτέλεσε τη βασική γνώση γεωμετρίας του δυτικού κόσμου για πάνω από 2000 χρόνια. Η Ευκλείδεια γεωμετρία λοιπόν είναι η γεωμετρία η οποία προκύπτει υποθέτοντας τα πέντε αξιώματα του Ευκλείδη, συμπεριλαμβανομένου του αιτήματος των παραλλήλων.
Αντικείμενο του μαθήματος Διαφορική Γεωμετρία είναι η μελέτη των καμπυλών και επιφανειών στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο όπως αυτή αναπτύχθηκε από τον Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Η συνεισφορά του Gauss σε συνδυασμό με τις εργασίες των J?nos Bolyai (1802-1860) και NikolaiIvanovichLobachevsky (1792-1856) οδήγησε στην ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών. Το γεγονός αυτό έδωσε θετική λύση σε ένα από τα πιο φημισμένα μαθηματικά προβλήματα, στο κατά πόσον δηλαδή το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη είναι ανεξάρτητο των τεσσάρων υπολοίπων αξιωμάτων της θεωρίας.
Η μελέτη της θεωρίας των καμπυλών και επιφανειών όπως θα παρουσιαστεί στο μάθημα αυτό, θα βασίζεται στη θεωρία λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και θα έχει μια ματιά προς τους πιο γενικούς χώρους που είναι αντικείμενο της σύγχρονης διαφορικής γεωμετρίας, τις διαφορικές πολλαπλότητες.
Μερικά ερωτήματα που θα απαντηθούν στο μάθημα είναι τα εξής: Πώς μπορούμε να μετρήσουμε την καμπυλότητα μιας καμπύλης στο επίπεδο ή στον χώρο; Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την καμπυλότητα μιας επιφάνειας;
Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν προτεινόμενες ασκήσεις για λύση, πολλές από αυτές έως μέτριας δυσκολίας.
ΛιγότεραΠερί το 300 π.Χ. ο Ευκλείδης έγραψε το περίφημο έργο του ?Στοιχεία? σε δεκατρία βιβλία, το οποίο αποτέλεσε τη βασική γνώση γεωμετρίας του δυτικού κόσμου για πάνω από 2000 χρόνια. Η Ευκλείδεια γεωμετρία λοιπόν είναι η γεωμετρία η οποία προκύπτει υποθέτοντας τα πέντε αξιώματα του Ευκλείδη, συμπεριλαμβανομένου του αιτήματος των παραλλήλων.
Αντικείμενο του μαθήματος Διαφορική Γεωμετρία είναι η μελέτη των καμπυλών και επιφανειών στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο όπως αυτή αναπτύχθηκε από τον Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Η συνεισφορά του Gauss σε συνδυασμό με τις εργασίες των J?nos Bolyai (1802-1860) και NikolaiIvanovichLobachevsky (1792-1856) οδήγησε στην ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών. Το γεγονός αυτό έδωσε θετική λύση σε ένα από τα πιο φημισμένα μαθηματικά προβλήματα, στο κατά πόσον δηλαδή το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη είναι ανεξάρτητο των τεσσάρων υπολοίπων αξιωμάτων της θεωρίας.
Η μελέτη της θεωρίας των καμπυλών και επιφανειών όπως θα παρουσιαστεί στο μάθημα αυτό, θα βασί
Περί το 300 π.Χ. ο Ευκλείδης έγραψε το περίφημο έργο του ?Στοιχεία? σε δεκατρία βιβλία, το οποίο αποτέλεσε τη βασική γνώση γεωμετρίας του δυτικού κόσμου για πάνω από 2000 χρόνια. Η Ευκλείδεια γεωμετρία λοιπόν είναι η γεωμετρία η οποία προκύπτει υποθέτοντας τα πέντε αξιώματα του Ευκλείδη, συμπεριλαμβανομένου του αιτήματος των παραλλήλων.
Αντικείμενο του μαθήματος Διαφορική Γεωμετρία είναι η μελέτη των καμπυλών και επιφανειών στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο όπως αυτή αναπτύχθηκε από τον Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Η συνεισφορά του Gauss σε συνδυασμό με τις εργασίες των J?nos Bolyai (1802-1860) και NikolaiIvanovichLobachevsky (1792-1856) οδήγησε στην ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών. Το γεγονός αυτό έδωσε θετική λύση σε ένα από τα πιο φημισμένα μαθηματικά προβλήματα, στο κατά πόσον δηλαδή το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη είναι ανεξάρτητο των τεσσάρων υπολοίπων αξιωμάτων της θεωρίας.
Η μελέτη της θεωρίας των καμπυλών και επιφανειών όπως θα παρουσιαστεί στο μάθημα αυτό, θα βασί
Ορίζουμε την καμπυλότητα επίπεδης καμπύλης και διατυπώνουμε την ισοπεριμετρική ανισότητα
Ορίζουμε την καμπυλότητα και στρέψη μιας καμπύλης στον χώρο, το τρίεδρο Frenet και διατυπώνουμε το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας καμπυλών.
Ορίζουμε την έννοια της κανονικής επιφάνειας στον R3 μέσω τοπικών χαρτών, αλλά και την έννοια της παραμετρημένης επιφάνειας (τμήμα επιφάνειας). Τα περισσότερα παραδείγματα προκύπτουν από το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης. Ορίζουμε την έννοια την λείας (διαφορίσιμης) απεικόνισης μεταξύ δύο κανονικών επιφανειών με χρήση τοπικών χαρτών.
Ορίζουμε τον εφαπτόμενο χώρο μιας κανονικής επιφάνειας ο οποίος αποτελεί την βέλτιστη γραμμικοποίηση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Ορίζεται έτσι το διαφορικής μιας λείας απεικόνισης μεταξύ επιφανειών.
Ορίζουμε την πρώτη θεμελιώδη μορφή μιας κανονικής επιφάνειας, η οποία ορίζει και τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης E, F, G. Αυτά είναι πραγματικές συναρτήσεις στην επιφάνεια και ορίζουν ένα εσωτερικό γινόμενο σε κάθε εφαπτόμενο χώρο της επιφάνειας, το οποίο επάγεται από το κανονικό εσωτεριοκό γινόμενο του R3.
Η πιο σημαντική έννοια της στοιχειώδους διαφορικής γεωμετρίας είναι η καμπυλότητα Gauss μιας κανονικής επιφάνειας Μ. Αυτή είναι μια πραγματική συνάρτηση Κ επί της Μ που πολύ σύντομα την ορίζουμε ως εξής: Ο ρίζουμε αρχικά την απεικόνιση Gauss Ν: M --> S2 και στη συνέχεια το τελεστή σχήματος Sp : TpM --> TpM, Sp = -dNp σε κάθε σημείο p της Μ. O τελεστής σχήματος είναι αυτοσυζυγής τελεστής ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή άρα ο πίνακάς του (ως προς μια βάση μιας τοπικής παραμέτρησης στο p) είναι συμμετρικός. Ο πίνακας αυτός (γνωστός και ως πίνακας Weingarten) καθορίζει τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης e, f, g. Η ορίζουσα και το ίχνος του πίνακα αυτού ονομάζονται καμπυλότητα Gauss Κ και μέση καμπυλότητα Η της επιφάνειας Μ. Τα Κ και Μ αποτελούν πραγματικές συναρτήσεις επί της Μ. Δίνουμε και γεωμετρική ερμηνεία της καμπυλότητας Gauss μια ο τρόπος ορισμού της αν και απλός στερείται εποπτείας. Στη συνέχεια ορίζουμε τις κύριες καμπυλότητες k1 και k2 της Μ, οι οποίες προκύπτει ότι είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα του τελεστή σχήματος. Αποδεικνύουμε τον τύπο του Euler και κάνουμε αναφορά σε μη Ευκλείδειες γεωμετρίες.
Το κεφάλαιο αυτό αφιερώνεται σε ένα από δύο τα πιο σημαντικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών, το Θαυμαστό Θεώρημα (Theorema Egregium) (το άλλο είναι το Θεώρημα των Gauss-Bonnet). To Θαυμαστό Θεώρημα αναφέρει ότι η καμπυλότητα Gauss, αν και εκφράζεται ως K = (eg - f2) / (EG - F2), τελικώς εξαρτάται μόνο από τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης μόνο. Αυτό διαισθητικά σημαίνει ότι, αν και οι συναρτήσεις e, f και g ορίζονται από τον τρόπο που ένας εξωτερικός παρατηρητής αναγνωρίζει την κύρτωση της επιφάνειας, τελικά η ποσότητα eg - f2 (άρα και η καμπυλότητα Gauss K) μπορεί να υπολογιστεί από έναν παρατηρητή o οποίος βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια.
Παρουσιάζονται κάποια επιλεκτικά λυμένα προβλήματα.
Παρουσιάζονται οι τιτλοι των κεφαλαίων.
Στη σημείο αυτό θα θέλαμε να κάνουμε μια σύντομη ξενάγηση στην βιβλιογραφία. Τα βιβλία που βρίσκονται στο επίπεδο του παρόντος μαθήματος είναι του A. Pressley και του Β. Παπαντωνίου. Το βιβλίο του M. do Carmo είναι το κλασικό και πολύ καλό βιβλίο του χώρου, αλλά θέλει κάποια υπομονή και πειθαρχία στην μελέτη του. Τα βιβλία των M. Abate - F. Torena και J. Oprea είναι αναλυτικά, καλογραμμένα και περιέχουν πολλά παραδείγματα. Τέλος, το βιβλό του C. Bar είναι καλογραμμένο, με σύγχρονη γλώσσα και αποτελεί μια καλή προετοιμασία του αναγνώστη για τις πολλαπλότητες Riemann.
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 0
Αρ. Προβολών : 0
