Διαφορική Γεωμετρία
Ενότητες
Η πιο σημαντική έννοια της στοιχειώδους διαφορικής γεωμετρίας είναι η καμπυλότητα Gauss μιας κανονικής επιφάνειας Μ. Αυτή είναι μια πραγματική συνάρτηση Κ επί της Μ που πολύ σύντομα την ορίζουμε ως εξής: Ο ρίζουμε αρχικά την απεικόνιση Gauss Ν: M --> S2 και στη συνέχεια το τελεστή σχήματος Sp : TpM --> TpM, Sp = -dNp σε κάθε σημείο p της Μ. O τελεστής σχήματος είναι αυτοσυζυγής τελεστής ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή άρα ο πίνακάς του (ως προς μια βάση μιας τοπικής παραμέτρησης στο p) είναι συμμετρικός. Ο πίνακας αυτός (γνωστός και ως πίνακας Weingarten) καθορίζει τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης e, f, g. Η ορίζουσα και το ίχνος του πίνακα αυτού ονομάζονται καμπυλότητα Gauss Κ και μέση καμπυλότητα Η της επιφάνειας Μ. Τα Κ και Μ αποτελούν πραγματικές συναρτήσεις επί της Μ. Δίνουμε και γεωμετρική ερμηνεία της καμπυλότητας Gauss μια ο τρόπος ορισμού της αν και απλός στερείται εποπτείας. Στη συνέχεια ορίζουμε τις κύριες καμπυλότητες k1 και k2 της Μ, οι οποίες προκύπτει ότι είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα του τελεστή σχήματος. Αποδεικνύουμε τον τύπο του Euler και κάνουμε αναφορά σε μη Ευκλείδειες γεωμετρίες.