ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΙΙ
2.3 Βελτιστοποιηση μιας απλης συναρτησης
Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν τα βασικά χαρακτηριστικά ενός Γ.Α. σε σχέση με τη βελτιστοποίηση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής. Η συνάρτηση ορίζεται ως εξής:
Ζητείται να βρεθεί η τιμή του
μέσα από το διάστημα
που μεγιστοποιεί την τιμή της συνάρτησης
, δηλαδή να βρεθεί ένα
τέτοιο ώστε
, για κάθε
.
H ανάλυση της συνάρτησης
είναι σχετικά εύκολη. Οι ρίζες της πρώτης παραγώγου της
βρίσκονται ως εξής:
Είναι προφανές ότι η παραπάνω εξίσωση έχει άπειρες λύσεις της μορφής:
, για
,
,
, για
,
όπου τα
αντιπροσωπεύουν φθίνουσες ακολουθίες πραγματικών αριθμών που
τείνουν στο μηδέν για
και
αντίστοιχα.
Παρατηρείται ότι η συνάρτηση
παίρνει τις τοπικά μέγιστες τιμές της, για τιμές του
όπου το
είναι περιττός ακέραιος και τις τοπικά ελάχιστες, για τιμές
του
όπου το
είναι άρτιος ακέραιος.
Αφού το πεδίο ορισμού του
προβλήματος είναι το , η συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη τιμή της για
, όπου το
είναι λίγο μεγαλύτερο από το
.
Θα κατασκευαστεί ένας Γ.Α. που
να επιλύει το παραπάνω πρόβλημα, δηλαδή να μεγιστοποιεί τη συνάρτηση
. Στις παρακάτω παραγράφους, θα γίνει μια εκτενής αναφορά στα
βασικότερα συστατικά μέρη ενός τέτοιου αλγόριθμου.