ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΕ ΤΡΕΙΣ ΑΠΟΡΙΕΣ
- Πέμπτη, 16 Ιανουαρίου 2025 - 4:24 μ.μ. -

ΑΠΟΡΙΑ - Άσκηση 9.7

Δεν καταλαβαίνω πώς προκύπτει το σχήμα του φάσματος με fs=8Hz, όπου φαίνεται όλα τα ζεύγη των κρουστικών να είναι κεντραρισμένα γύρω από το μηδέν. Καταλαβαίνω ότι το φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος θα είναι η περιοδική επέκταση του φάσματος του αρχικού σήματος ανά απόσταση fs στον άξονα των συχνοτήτων, όπως γίνεται και στο σχήμα της fs=6Hz (όπου και δεν υπάρχουν κρουστικές στα πολλαπλάσια της fs). Στην συνημμένη εικόνα φαίνεται η λύση μου με αυτή την λογική. Επίσης εφόσον το θεώρημα δειγματοληψίας Nyquist απαιτεί η fs να είναι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της fmax και εμείς δειγματοληπτούμε με ακριβώς διπλάσιο, δεν θα προκύψει παραμόρφωση του πλάτους αφού δύο γειτονικές κρουστικές συμπέφτουν ακριβώς στην ίδια θέση; Δηλαδή δύο κρουστικές προστίθενται και δίνουν την πορτοκαλί κρουστική διπλάσιου πλάτους όπως φαίνεται στην φωτογραφία.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Απαντώντας τις απορίες, ο σκοπός μου είναι να εξηγήσω όσο γίνεται καλύτερα την λύση που έχει δοθεί.

Το s(t) = 2cos(2π4t) έχει συχνότητα fmax = 4 Hz και M.F. S(f) όπως φαίνεται στο πρώτο σχήμα στην λύση της Άσκησης 9.7 στο eclass. Σύμφωνα με τον Nyquist η ελάχιστη (σωστή) συχνότητα δειγματοληψίας είναι fs = 8 Hz.

Δηλαδή το θεώρημα δειγματοληψίας του Nyquist απαιτεί η fs να είναι μεγαλύτερη ή ίση της 2*fmax = 8 Hz.

Επομένως, έχοντας μία κτένα από δέλτα συναρτήσεις με περίοδο T = 1/8 sec παίρνουμε δείγματα.  O M.F. των δειγμάτων του s(t) προκύπτει από την μετάθεση του (αρχικού) φάσματος του s(t) κατά +n*8 ή -n*8 Hz. Έτσι π.χ. με n=1 η συχνότητα -4 Ηz έρχεται στα (-4 + 8 =) + 4 Hz, ενώ η συχνότητα +4 Ηz έρχεται στα (+4 + 8 =) + 12 Hz.  Με n=-1 η συχνότητα -4 Ηz έρχεται στα (-4 - 8 =) - 12 Hz, ενώ η συχνότητα +4 Ηz έρχεται στα (+4 - 8 =) - 4 Hz.  Με n=0 η συχνότητα -4 Ηz παραμένει στα - 4 Hz, ενώ η συχνότητα +4 Ηz παραμένει στα + 4 Hz.  Με n=2 η συχνότητα -4 Ηz έρχεται στα (-4 + 2*8 =) + 12 Hz, ενώ η συχνότητα +4 Ηz έρχεται στα (+4 + 2*8 =) + 20 Hz. Με n=-2 η συχνότητα -4 Ηz έρχεται στα (-4 - 2*8 =) - 20 Hz, ενώ η συχνότητα +4 Ηz έρχεται στα (+4 - 2*8 =) + 12 Hz. κ.ο.κ.  Ακριβέστερα, τα δείγματα της s(t) μετά την δειγματοληψία αυτή, έχουν M.F., V(f) = (1/Τ) ∑S(f-n/T) = 8*∑S(f-n/T). Δηλαδή το πλάτος σε κάθε συχνότητα είναι ίδιο, ίσο προς 8 μονάδες, όπως φαίνεται και στην λύση της Άσκησης 9.7.  (Σημειωτέον, τα πλάτη στον Μ.F. του s(t) όπως φαίνονται στο πρώτο σχήμα της άσκησης 9.7 είναι 1, έχοντας βέβαια θετικό και αρνητικό άξονα συχνοτήτων).

ΑΠΟΡΙΑ - Άσκηση 11.6

Νομίζω υπάρχει κάποιο λάθος σε αυτόν τον υπολογισμό: v/f = 2 /(1+r) => 2400 / BWmin = 2 / (1+1) => BWmin = 1200 Hz καθώς με βάση την αντικατάσταση των τιμών θα έπρεπε στο τέλος να έβγαινε 2400 / BWmin = 1 => BWmin = 2400Hz. Μπορείτε να διευκρινίσετε που ακριβώς εντοπίζεται το λάθος; Δηλαδή είναι αριθμητικό (δεν έπρεπε να γίνει διαίρεση του 2400 με το 2) ή έπρεπε να είχαμε αντικαταστήσει ν=Rs=1200 αντί για ν=Rb=2400; Γενικά με μπερδεύει στην σχέση v/f = 2/(1+r) αν το ν αναπαριστά το bit rate ή το symbol rate. Στην γενική περίπτωση δηλαδή θεωρούμε ότι ν=Rs ή ν=Rb;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Πρόκειται για μια βασική Άσκηση!!!

Για το baud rate της μετάδοσης δεν υπάρχει αμφιβολία ότι είναι Rs = Rb/n = 2400/2 = 1200 baud.

Σωστά λέτε ότι υπάρχει λάθος (για καθαρή αριθμητική πρόκειται), διότι το αποτέλεσμα θα έπρεπε ΚΑΤ' ΑΡΧΗΝ να είναι 2400 Hz, αν rolloff factor r = 1.

Πολύ σωστά αναρωτιέστε πού είναι το λάθος. Το λάθος περισσότερο βρίσκεται στην διατύπωση της εκφώνησης.  Την στιγμή που έχει καθοριστεί ο rolloff factor r = 1, δεν υπάρχει παρά ένα συγκεκριμένο εύρος ζώνης μετάδοσης. Αν δεν είχε καθοριστεί ο rolloff factor, θα είχε νόημα να ζητείται το ελάχιστο ή το μέγιστο εύρος ζώνης μετάδοσης της 4-PAM. Το ελάχιστο αντιστοιχεί στην τιμή r = 0 (θεωρητικός rolloff factor), ενώ το μέγιστο εύρος ζώνης αντιστοιχεί στην τιμή r = 1 (πρακτικός rolloff factor).

Ας μην αλλάξουμε την εκφώνηση και ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε, αλλά για r = 1.

Από τον τύπο v / f = 2 (1 + r), ο οποίος για να μην μπερδευόμαστε θα θεωρούμε πάντα ότι ισχύει για μετάδοση bits (σήμα PCM) στην βασική ζώνη, προκύπτει ότι το απαιτούμενο εύρος ζώνης είναι f = 2400 Ηz (για r = 1).  Επειδή όμως δεν έχουμε μετάδοση PCM αλλά 4-PAM, δηλ. παίρνουμε τα bits ανά δύο (διπλασιάζουμε την χρονική διάρκεια του παλμού της μετάδοσης), το εύρος ζώνης θα είναι το μισό. Γι' αυτό λέμε τελικά BWmin = 1200 Hz.

Όντως δεν δίδεται λεπτομερώς η εξήγηση του αποτελέσματος στην λύση της 11.6 και γι' αυτό θα την αναθεωρήσω ώστε να συμπεριλάβω την επεξήγηση που σας δίνω εδώ!

ΑΠΟΡΙΑ - Άσκηση 10.6

Η απορία μου εδώ σχετίζεται με την προηγούμενη. Αν καταλαβαίνω καλά η σχέση v/n ≤ 2Β για να βρούμε τον αριθμό των bits προήλθε από την v/f = 2/(1+r) όπου πήραμε r=0, λύσαμε ως προς ν και αντικαταστήσαμε ν => ν/n. Είναι σωστή αυτή η λογική;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Από την "εκφώνηση" προκύπτει ότι θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε M-δική κωδικοποίηση, δηλ. να πάρουμε τα bits ανά n (δύο-δύο, ή τρία-τρία, ή τέσσερα-τέσσερα κλπ), έτσι ώστε M = 2n (n θετικός ακέραιος). Αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε αριθμό μετάδοσης συμβόλων Rs = v / n, όταν ο ρυθμός v = 600 kbps. Διευκρινίζεται δε ότι θέλουμε το ελάχιστο Μ (που σημαίνει και το ελάχιστο n).

Επίσης ουσιαστικά δίδεται ότι r = 0.  Άρα (v/n) / B = 2, ή v/n = 2B όπου το Β = 120 ΚHz (δεδομένο) και επομένως η σχέση γίνεται v/n <= 240 KHz ή 600/n <= 240 ή n >= 600/240 ή n>=

2,5  ή n = 3.

Έστω μετάδοση PCM βασικής ζώνης με r = 0, τότε v/f = 2. Οπότε f = v /2 = 300 KHz.  Επειδή όπως δεν έχουμε μετάδοση PCM αλλά Μ-αδική μετάδοση με Μ = 23 = 8, όπου παίρνουμε τα bits ανά 3, το απαιτούμενο εύρος ζώνης θα είναι το 1/3 των 300 ΚHz, δηλ. 100 KHz, επομένως περισσεύουν 20 ΚΗz (από τα 120 KHz του καναλιού).