Μάθημα : ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

Δίνονται πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο διεξαγωγής του μαθήματος.

Παρουσιάζονται τα προβλήματα που χαρακτήριζαν την κλασική φυσική και πώς αυτά αντιμετωπίστηκαν. Η λύση των προβλημάτων αποτελεί τις απαρχές της κβαντικής θεωρίας. Η συμβολή του Planck στην ερμηνεία ακτινοβολίας μέλανος σώματος και του Einstein στην εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου είναι καθοριστικές. Επιπλέον δίνεται έμφαση στην ανάπτυξη ατομικών θεωριών με κυριότερη αυτή του Bohr, ο οποίος εισάγει την έννοια της κβάντωσης της στροφορμής, ανοίγοντας ακόμη περισσότερο τον δρόμο για την ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας.

Γίνεται μια ανασκόπηση στην μελέτη κίνησης συστήματος δύο σωματιδίων με βάση την κλασική φυσική  καθώς και της αρχής της αντιστοιχίας. Η αρχή της αντιστοιχίας ορίζει τα όρια στα οποία ένα κβαντομηχανικό σύστημα μπορεί να μελετηθεί με βάση τους νόμους της κλασικής φυσικής. 

Η έννοια της κυματικής φύσης των σωματιδίων εισήχθε από τον De Broglie. Στην ενότητα αυτή θα γίνει κατανοητή μέσω ενός παραδείγματος. Ακόμη, αναφέρεται το πείραμα Davisson-Germer το οποίο επαληθεύει την κυματική φύση δέσμης ηλεκτρονίων.

Παρουσίαζεται ακόμη ένα πείραμα που αποδεικνύει την κυματική φύση των σωματιδίων, το πείραμα των δύο σχισμών του Young. Δίνεται στην συνέχεια μια σκιαγράφηση της κατασκευής της εξίσωσης Schrodinger και μέσω αυτής της διαδικασίας εισάγεται η έννοια του τελεστή.

Παρατίθεται αρχικά η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή της λύσης της εξίσωσης Schrodinger. Μέσω ενός παραδείγματος ορίζονται οι έννοιες της μέσης θέσης σωματιδίου και της αβεβαιότητας ενός φυσικού μεγέθους.

Στην ενότητα αυτή συνεχίζεται η εφαρμογή της προηγούμενης ενότητας. Εισάγεται η έννοια της μέσης ορμής και της αβεβαιότητας ορμής. Εν τέλει παρατίθεται η επαλήθευση της αρχής της αβεβαιότητας θέσης-ορμής.

Επιλύεται η εξίσωση Schrodinger με την μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών. Αρχικά για ελεύθερο σωμάτιο (μηδενικό ή σταθερό δυναμικό), δίνεται η λύση της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrodinger. Παρουσιάζεται το πρόβλημα ιδιοτιμών ορμής του ελεύθερου σωματίου και γίνεται μια εισαγωγή στο απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού.

Στην ενότητα αυτή αναλύεται λεπτομερώς το απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού και εισάγεται η σύναρτηση βήματος, με την οποία η κυματοσυνάρτηση μπορεί να γραφεί σε συμπτυγμένη μορφή.

Παρουσιάζεται η γενική μορφή της λύσης της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης Schrondinger και υπολογίζεται η μέση ενέργεια.

Η ερμιτιανότητα των τελεστών είναι μια πολύ σημαντική ιδιότητα, διότι αντιπροσωπεύει ποια μεγέθη έχουν φυσική σημασία (αφού οι ιδιοτιμές των ερμιτιανών τελεστών είναι πραγματικές). Η μεταθετικότητα αποτελεί μια ξεχωριστή ιδιότητα που καθορίζει αν δύο κβαντομηχανικά μεγέθη μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα.

Σε αυτήν την ενότητα παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μεταθέτη (ή εναλλάκτη) και δίνεται ένα παράδειγμα με τις συνιστώσες της στροφορμής. Ακόμη, παρατίθεται η γενικευμένη αρχή της αβεβαιότητας.

Τα θεωρήματα Ehrenfest αποδεικνύουν πως οι μέσες τιμές κβαντομηχανικών μεγεθών συμπεριφέρονται όπως στην κλασική μηχανική. Ο τελεστής της Parity (αρτιότητας) έχει αποκλειστικά άρτιες και περιττές ιδιοσυναρτήσεις και παίζει σημαντικό ρόλο στην σωματιδιακή φυσική. Τέλος, εξάγεται ένας γενικός τύπος για την μέση τιμή οποιουδήποτε τελεστή.

Μελετάται η μορφή της κυματοσυνάρτησης και της μέσης τιμής κβαντομηχανικού τελεστή για σύστημα δύο ενεργειακών επιπέδων. Τέτοιου είδους συστήματα είναι χρήσιμα στην κβαντομηχανική, γιατί είναι σχετικά απλά στην μελέτη τους, αλλά και γιατί βρίσκουν εφαρμογή σε τομείς όπως η κβαντική οπτική.

Παρουσιάζεται μια εφαρμογή του συστήματος δύο ενεργειακών καταστάσεων σε απειρόβαθο πηγάδι, προκειμένου να κατανοηθεί καλύτερα η χρήση των γενικών τύπων που είχαν εξαχθεί στην προηγούμενη ενότητα.

Ολοκληρώνεται η εφαρμογή της προηγούμενης ενότητας και εξετάζεται η έννοια του κυματοπακέτου στην κβαντομηχανική. Στην κλασική φυσική γνωρίζουμε ότι το κυματοπακέτο είναι ένα οδεύον κύμα που προκύπτει από την υπέρθεση πολλών κυμάτων με διαφορετικές συχνότητες. Στην κβαντομηχανική, σε συμφωνία με ό,τι έχουμε δει μέχρι στιγμής, μεταφράζεται ως πλάτος πιθανότητας με το τετράγωνο του πλάτους να είναι η πυκνότητα πιθανότητας.

Προτού προχωρήσετε σε αυτήν την ενότητα θα ήταν καλό να κάνετε μια σύντομη επανάληψη σε ό,τι έχετε διδαχθεί στην γραμμική άλγεβρα σχετικά με την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων.

Ο φορμαλισμός Dirac αποτελεί ουσιαστικά έναν διαφορετικό τρόπο γραφής της κβαντομηχανικής. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμος, καθώς προσφέρει ευελιξία.

Μέσα από μια εφαρμογή, που αποτελεί και θέμα εξετάσεων, γίνεται πιο κατανοητή η χρήση του φορμαλισμού.

Η χρησιμότητα των τετραγωνικών δυναμικών έγκειται στο γεγονός ότι οποιοδήποτε πολύπλοκο δυναμικό μπορεί να "σπάσει"σε μικρά τμήματα τετραγωνικών δυναμικών και να μελετηθεί. Μέσω αυτού του είδους των δυναμικών θα δούμε ενδιαφέροντα κβαντομηχανικά φαινόμενα όπως το φαινόμενο σήραγγος.

Το πρώτο σύστημα που μελετάται στα τετραγωνικά δυναμικά είναι το τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού. Κατασκευάζονται οι εξισώσεις Schrodinger για διάφορες περιπτώσεις και σκιαγραφείται η λύση τους.

Σε αυτήν την ενότητα ολοκληρώνεται η ανάλυση που αφορά το τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού και γίνεται εισαγωγή στο λεγόμενο δέλτα πηγάδι δυναμικού. Το όνομά του προκύπτει από το γεγονός ότι το δυναμικό σε αυτήν την περίπτωση εκφράζεται με την βοήθεια της συνάρτησης δέλτα.

Γίνεται αρχικά μια εισαγωγή στην έννοια της σκέδασης σε μονοδιάστατο πρόβλημα και στην συνέχεια μελετάται η εξίσωση συνέχειας στην κβαντομηχανική. Γενικά η εξίσωση συνέχειας στην φυσική, είναι εκείνη η εξίσωση, που περιγράφει την συμπεριφορά μιας διατηρούμενης ποσότητας. Για παράδειγμα, στην ρευστομηχανική, όπου έχουμε διατήρηση της μάζας, έχουμε και την αντίστοιχη εξίσωση συνέχειας που εκφράζει ακριβώς αυτό(την διατήρηση μάζας). Στην κβαντομηχανική το διατηρούμενο μέγεθος είναι η πιθανότητα, άρα αναμένουμε να έχουμε μια εξίσωση συνέχειας που να το εκφράζει.

Μελετώνται περιπτώσεις σκέδασης εισάγοντας και τις έννοιες των συντελεστών ανάκλασης και διάδοσης. Επίσης εξηγείται το φαινόμενο σήραγγος, το οποίο είναι το φαινόμενο κατά το οποίο ένα σωμάτιο μπορεί να διαπεράσει ένα φράγμα δυναμικού που στην κλασική μηχανική θεωρείται αδύνατο.

Αυτή η ενότητα διαπραγματεύεται κυρίως το φυσικό σύστημα μονάδων, το οποίο ορίζεται έτσι ώστε κάποιες βασικές σταθερές (όπως πχ η σταθαερά του Planck) να είναι ίσες με την μονάδα. Κατ' αυτόν τον τρόπο οι πράξεις διευκολύνονται σημαντικά.

Μελετάται ο κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής με δύο τρόπους: 1) με την μέθοδο της απειροσειράς, 2)με την αλγεβρική μέθοδο.

Στην ενότητα αυτή ολοκληρώνεται η αλγεβρική μέθοδος για τον αρμονικό ταλαντωτή και υλοποιείται μέσα από ορισμένα παραδείγματα.

Σκοπός της ενότητας είναι να ανάγει την μελέτη ήδη γνωστών μας συστημάτων (ελεύθερο σωμάτιο, απειρόβαθο πηγάδι) σε περισσότερες από μία διαστάσεις.

Παρατίθεται η μελέτη ορισμένων νανοδομών, όπως το κβαντικό σύρμα, ο ισότροπος και ανισότροπος κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής, το δισκοειδές πηγάδι δυναμικού.

Δίνεται μια πληρής μαθηματική-κβαντομηχανική μελέτη του ατόμου του υδρογόνου.

Δίνονται οι εξισώσεις ιδιοτιμών τελεστών που σχετίζονται με την στροφορμή και ορίζονται οι τελεστές αναβίβασης και καταβίβασης για την στροφορμή. 

Η κυματοσυνάρτηση του ατόμου του υδρογόνου, όπως είδαμε αποτελείται από δύο "μέρη", το γωνιακό και το ακτινικό. Το καθ' ένα από αυτά εξάγεται από μια εξίσωση που προκύπτει από την μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών. Στις προηγούμενες ενότητες αποσαφηνίστηκε το γωνιακό κομμάτι. Σ' αυτην την ενότητα θα επικεντρωθούμε στην ακτινική εξίσωση.

Με την επίλυση της ακτινικής εξίσωσης, έχουμε πλέον ολοκληρώσει την μελέτη του ατόμου του υδρογόνου.