Μάθημα : Ειδικές Συναρτήσεις

Παρουσιάζονται οι τίτλοι των ενοτήτων.

Συναρτήσεις Γάμμα και Βήτα: Ισοδύναμοι ορισμοί, βασικές ιδιότητες και σχέσεις μεταξύ αυτών.

Συνάρτηση ψ(x) και συνάρτηση σφάλματος. Ασκήσεις.

Συναρτήσεις Bessel

Οι συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους J_n(z) και δευτέρου είδους Y_n(z) ως λύσεις της διαφορικής εξίσωσης Bessel. Γραμμική ανεξαρτησία αυτών.

Αναδρομικές σχέσεις που ικανοποιούν οι συναρτήσεις Bessel. Ασκήσεις.

Γεννήτρια συνάρτηση των συναρτήσεων Bessel. Ασκήσεις.

Τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel.

Οι τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel πρώτου I_ν(z) και δευτέρου είδους K_ν(z) ως λύσεις της τροποποιημένης διαφορικής εξίσωσης Bessel. Γραμμική ανεξαρτησία αυτών. Αναδρομικές σχέσεις που ικανοποιούν. Ασκήσεις.

Επίλυση διαφορικών εξισώσεων και επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με μη σταθερούς συντελεστές με τη βοήθεια των συναρτήσεων Bessel.

Ολοκληρώματα Lommel.

Ρίζες των συναρτήσεων Bessel.

Θεωρήματα που αφορούν στον αριθμό των ριζών, στην πολλαπλότητα και στο αν είναι πραγματικές ή μιγαδικές, καθώς επίσης και στην εναλλαγή των ριζών των συναρτήσεων Bessel και μικτών συναρτήσεων Bessel.

Η ανάπτυξη μιας συνάρτησης σε σειρά Fourier-Bessel.

Ορθογώνια Πολυώνυμα.

Γενικά περί ορθογωνιότητας των πολυωνύμων, αναδρομική σχέση τριών όρων. Γεννήτρια συνάρτηση και τύπος Rodrigues. Ρίζες Ο.Π.. Τύπος Drboux-Christoffel και βασικό θεώρημα για την ύπαρξη ριζών Ο.Π..