Τανυστική Ανάλυση και Γεωμετρία
Ανδρέας Αρβανιτογεώργος
Αν και η τελική βλέψη του μαθήματος αυτού είναι η έννοια της λείας (ή διαφορικής) πολλαπλότητας, η έννοια αυτή θα μας απασχολήσει προς το τέλος του μαθήματος. Σε γενικές γραμμές μπορούμε να πούμε ότι μια λεία πολλαπλότητα είναι ένας τοπολογικός χώρος ο οποίος τοπικά είναι όμοιος με ένα το Ευκλείδειο χώρο Rn. Ακολουθώντας την προσέγγιση που έχουμε στη θεωρία επιφανειών του R3 θέλουμε να ορίσουμε έννοιες εφαπτόμενου διανύσματος, εφαπτόμενου χώρου, διαφορίσιμης απεικόνισης, διαφορικο απεικόνισης, αλλά και ολοκληρώματος σε μια πολλαπλότητα.
Στην προσπάθειά μας αυτή πρέπει να αναθεωρήσουμε τις απόψεις για τα αντικείμενα αυτά, αλλά και να ορίσουμε νέα αντικείμενα όπως αυτά των διαφορικών μορφών. Οι ορισμοί μας δεν θα πρέπει πλέον να εξαρτώνται από συστήματα συντεταγμένων. Ο λόγος είναι ότι, για παράδειγμα, το ολοκήρωμα μιας συνάρτησης εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων, οπότε σε μια πολλαπλότητα οι προς ολοκλήρωση ποσότητες δεν θα είναι οι συναρτήσεις αλλά οι διαφορικές μορφές, οι οποίες θα αποτελέσουν τα δυϊκά αντικείμενα των διανυσμάτων.
Επιπλέον θα δώσουμε εξήγηση για εκφράσεις της μορφής df = fx dx + fy dy +fz dz οι οποίες προκαλούν προβληματισμό ως προς την οντότητα τους.
Για τους λόγους αυτούς θα ασχοληθούμε αρκετά με την έννοια της εξωτερικής άλγεβρας (ή άλγεβρας του Grassmann), πολυγραμμικές μορφές και διαφορικές μορφές στον Ευκλείδειο χώρο Rn.
Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν προτεινόμενες ασκήσεις για λύση, πολλές από αυτές έως μέτριας δυσκολίας.
ΛιγότεραΑν και η τελική βλέψη του μαθήματος αυτού είναι η έννοια της λείας (ή διαφορικής) πολλαπλότητας, η έννοια αυτή θα μας απασχολήσει προς το τέλος του μαθήματος. Σε γενικές γραμμές μπορούμε να πούμε ότι μια λεία πολλαπλότητα είναι ένας τοπολογικός χώρος ο οποίος τοπικά είναι όμοιος με ένα το Ευκλείδειο χώρο Rn. Ακολουθώντας την προσέγγιση που έχουμε στη θεωρία επιφανειών του R3 θέλουμε να ορίσουμε έννοιες εφαπτόμενου διανύσματος, εφαπτόμενου χώρου, διαφορίσιμης απεικόνισης, διαφορικο απεικόνισης, αλλά και ολοκληρώματος σε μια πολλαπλότητα.
Στην προσπάθειά μας αυτή πρέπει να αναθεωρήσουμε τις απόψεις για τα αντικείμενα αυτά, αλλά και να ορίσουμε νέα αντικείμενα όπως αυτά των διαφορικών μορφών. Οι ορισμοί μας δεν θα πρέπει πλέον να εξαρτώνται από συστήματα συντεταγμένων. Ο λόγος είναι ότι, για παράδειγμα, το ολοκήρωμα μιας συνάρτησης εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων, οπότε σε μια πολλαπλότητα οι προς ολοκλήρωση ποσότητες δεν θα είναι οι συναρτήσεις αλλά οι διαφορικές μορφές, οι οπ
Αν και η τελική βλέψη του μαθήματος αυτού είναι η έννοια της λείας (ή διαφορικής) πολλαπλότητας, η έννοια αυτή θα μας απασχολήσει προς το τέλος του μαθήματος. Σε γενικές γραμμές μπορούμε να πούμε ότι μια λεία πολλαπλότητα είναι ένας τοπολογικός χώρος ο οποίος τοπικά είναι όμοιος με ένα το Ευκλείδειο χώρο Rn. Ακολουθώντας την προσέγγιση που έχουμε στη θεωρία επιφανειών του R3 θέλουμε να ορίσουμε έννοιες εφαπτόμενου διανύσματος, εφαπτόμενου χώρου, διαφορίσιμης απεικόνισης, διαφορικο απεικόνισης, αλλά και ολοκληρώματος σε μια πολλαπλότητα.
Στην προσπάθειά μας αυτή πρέπει να αναθεωρήσουμε τις απόψεις για τα αντικείμενα αυτά, αλλά και να ορίσουμε νέα αντικείμενα όπως αυτά των διαφορικών μορφών. Οι ορισμοί μας δεν θα πρέπει πλέον να εξαρτώνται από συστήματα συντεταγμένων. Ο λόγος είναι ότι, για παράδειγμα, το ολοκήρωμα μιας συνάρτησης εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων, οπότε σε μια πολλαπλότητα οι προς ολοκλήρωση ποσότητες δεν θα είναι οι συναρτήσεις αλλά οι διαφορικές μορφές, οι οπ
Το μάθημα αφορά ουσιαστικά διαφορική γεωμετρία "μετά την εποχή του Gauss". Γίνεται αναλυτική περιγραφή των κεφαλαίων.
Παρουσιάζονται τα κεφάλαια του μαθήματος.
Με την ευκαιρία αυτή θα κάνω μια ξενάγηση στην βιβλιογραφία. Το μάθημα στηρίζεται στα βιβλία του L. Tu και του M. do Carmo. Το βιβλίο του Tu είναι πολύ καλογραμμένο και ίσως το πρώτο βιβλίο που γράφτηκε σχετικά με πολλαπλότητες και μπορεί να διαβαστεί και να "δουλευτεί" από προπτυχιακό φοιτητή.Tα υπόλοιπα βιβλία είναι πιο προχωρημένα, όπως αυτό των D. Barden - C. Thomas. Τα βιβλία των S.S. Chern - W.H. Chen - K.S. Lam, R.W. Sharpe καθώς και T. A. Ivey ? I.M. Landsberg περιέχουν ένα ευρύ φάσμα σύγχρονης θεωρίας πολλαπλοτήτων, αλλά και αναλυτικά την μέθοδο των κινούμενων πλαισίων του Cartan.
Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να παρουσιάσουμε μια άλλη άποψη των εφαπτόμενων διανυσμάτων και των διανυσματικών πεδίων του Ευκλείδειου χώρου Rn , ως παραγωγίσεις στην άλγβερα των λείων πραγματικών συναρτήσεων επί του Rn. Χρειαζόμαστε την εναλλακτική αυτή περιγραφή προκειμένου στη συνέχεια να οριστούν τα αντικείμενα αυτά σε πιο γενικούς χώρους, τις λείες (διαφορικές) πολλαπλότητες.
To κεφάλαιο αυτό έχει αλγεβρικό χαρακτήρα. Ασχολείται με τις πολυγραμμικές συναρτήσεις σε έναν διανυασματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης. Στην γεωμετρία ο διανυσματικός αυτός χώρος θα είναι ο εφαπτόμνεος χώρος του Rn ή γενικότερα μιας πολλαπλότητας Μ. Ορίζουμε τανυστικό γινόμενο και εξωτερικό γινόμενο (σφήνα) πολυγραμμικων συναρτήσεων.
To κεφάλαιο αυτό ασχολείται με το κεντρικό αντικείμενο του μαθήματος που είναι οι διαφορικές μορφές στον Rn. Αυτές είναι εναλλάσσουσες πολυγραμμικές συναρτήσεις στον Rn. Ορίζουμε το εξωτερικό γινόμενο k-μορφών, τη δράση μορφών σε πεδία, την εξωτερική παράγωγο, και δίνουμε μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή στον διανυσματικό λογισμό. Οι διαφορικές μορφές αποτελούν τη βάση προκειμένου κάποιος να μελετήσει θεωρία ολοκλήρωσης σε πολλαπλότητες.
Το κεφάλαιο αυτό έχει κάπως ασυνήθιστο χαρακτήρα και δεν παρουσιάζεται τακτικά σε πανεπιστημιακά μαθήματα. Αφορά την παρουσίαση της κλασικής θεωρίας επιφανειών μέσω της μεθόδου των κινούμενων πλαισίων του Cartan. Η διαδικασία συνδυάζει άλγεβρα και γεωμετρία.
Το κεφάλαιο αυτό παρουσιάζει μια σύντομη εισαγωγή στις λείες (διαφορικές) πολλαπλότητες. Αυτές είναι τοπολογικοί χώροι οι οποίοι τοπικά είναι ομοιομορφικοί με ένα ανοικτό υποσύνολο του Rn και στις οποίες ορίζεται μια λεία δομή. Ο στόχος είναι να οριστούν έννοιες εφαπτόμενου χώρου, διαφορισιμότητας συναρτήσεων και άλλες γεωμετρικές ποσότητες σε χώρους οποιασδήποτε διάστασης. Οι πολλαπλότητες χρησιμοποιούνται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, της φυσικής (θεωρία σχετικότητας, θεωρία βαθμίδας), αλλά και οικονομικών, στατιστικής κ.ά..
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 3813
Αρ. Προβολών : 15236
