Διαφορική Γεωμετρία ΙΙ
Ανδρέας Αρβανιτογεώργος
Το μάθημα αποτελεί συνέχεια του μαθήματος Διαφορική Γεωμετρία που διδάσκεται στο χειμερινό εξάμηνο. Γίνεται επανάληψη θεωρίας επιφανειών, απόδειξη και εμβάθυνση θεμάτων τα οποία δεν αναπτύχθηκαν στο προηγούμενο μάθημα. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με το ερώτημα ποιά είναι η συντομότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια επιφάνεια και πώς αυτή σχετίζεται με την έννοια της ευθείας γραμμής. Αυστηρές απαντήσεις θα δοθούν μελετώντας την έννοια της γεωδαισιακής καμπύλης σε μια επιφάνεια. Τέλος, θα ασχοληθούμε με το ερώτημα της σχέσης της καμπυλότητας Gauss μιας επιφάνειας (τοπική έννοια) με την τοπολογία (δηλ. το αριθμό των "τρυπών") αυτής (ολική έννοια). Θα διατυπώσουμε το θεώρημα των Gauss-Bonnet και θα δούμε ενδιαφέρουσες εφαρμογές του.
Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν προτεινόμενες ασκήσεις για λύση, πολλές από αυτές έως μέτριας δυσκολίας.
ΛιγότεραΤο μάθημα αποτελεί συνέχεια του μαθήματος Διαφορική Γεωμετρία που διδάσκεται στο χειμερινό εξάμηνο. Γίνεται επανάληψη θεωρίας επιφανειών, απόδειξη και εμβάθυνση θεμάτων τα οποία δεν αναπτύχθηκαν στο προηγούμενο μάθημα. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με το ερώτημα ποιά είναι η συντομότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια επιφάνεια και πώς αυτή σχετίζεται με την έννοια της ευθείας γραμμής. Αυστηρές απαντήσεις θα δοθούν μελετώντας την έννοια της γεωδαισιακής καμπύλης σε μια επιφάνεια. Τέλος, θα ασχοληθούμε με το ερώτημα της σχέσης της καμπυλότητας Gauss μιας επιφάνειας (τοπική έννοια) με την τοπολογία (δηλ. το αριθμό των "τρυπών") αυτής (ολική έννοια). Θα διατυπώσουμε το θεώρημα των Gauss-Bonnet και θα δούμε ενδιαφέρουσες εφαρμογές του.
Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν προτεινόμενες ασκήσεις για λύση, πολλές από αυτές έως μέτριας δυσκολίας.
Το μάθημα αποτελεί συνέχεια του μαθήματος Διαφορική Γεωμετρία που διδάσκεται στο χειμερινό εξάμηνο. Γίνεται επανάληψη θεωρίας επιφανειών, απόδειξη και εμβάθυνση θεμάτων τα οποία δεν αναπτύχθηκαν στο προηγούμενο μάθημα. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με το ερώτημα ποιά είναι η συντομότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια επιφάνεια και πώς αυτή σχετίζεται με την έννοια της ευθείας γραμμής. Αυστηρές απαντήσεις θα δοθούν μελετώντας την έννοια της γεωδαισιακής καμπύλης σε μια επιφάνεια. Τέλος, θα ασχοληθούμε με το ερώτημα της σχέσης της καμπυλότητας Gauss μιας επιφάνειας (τοπική έννοια) με την τοπολογία (δηλ. το αριθμό των "τρυπών") αυτής (ολική έννοια). Θα διατυπώσουμε το θεώρημα των Gauss-Bonnet και θα δούμε ενδιαφέρουσες εφαρμογές του.
Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν προτεινόμενες ασκήσεις για λύση, πολλές από αυτές έως μέτριας δυσκολίας.
B. Παπαντωνίου: Διαφορική Γεωμετρία - Θεωρία Επιφανειών Τόμος ΙΙ, Πάτρα 2004
Μ. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976
Α. Pressley: Elementary Differential Geometry, 2nd Edition, Springer 2010
Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2011
C. Bar: Elementary Differential Geometry, Oxford University Press
J. Oprea: Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Association of America, 2007
Παρουσιάζονται οι τιτλοι των κεφαλαίων.
Κάνουμε μια σύντομη επανάληψη των βασικών εννοιών της θεωρίας επιφανειών, όπως τελεστής σχήματος, καμπυλότητα Gauss, κύριες καμπυλότητες.
Εισάγουμε τα σύμβολα του Christoffel και αποδεικνύουμε τις εξιώσεις των Codazzi και Gauss, γνωστές και ως εξισώσεις δομής μιας επιφάνειας. Αποδεικνύουμε κάποια ολικά αποτελέσματα, όπως το Θεώρημα του Liebmann.
Μελετάμε την συνναλοίωτη παράγωγο ενός διανυσματικού πεδίου σε μια επιφάνεια και ορίζουμε το παράλληλο διανυσματικό πεδίο κατά μήκος μιας καμπύλης σε επιφάνεια.
Ορίζουμε τη γεωδαισιακή καμπύλη μιας επιφάνειας, την γεωδαισιακή καμπυλότητα και διατυπώνουμε το θεώρημα Clairaut. Παρουσιάζουμε τις γεωδαισιακές καμπύλες μέσω λογισμού των μεταβολών. Ορίζουμε την εκθετική απεικόνιση.
Διατυπώνουμε το Θεώρημα των Gauss-Bonnet, σε δύο τοπικές και σε μια ολική εκδοχή. Δίνουμε διάφορες εφαρμογές τοπολογικού χαρακτήρα.
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 0
Αρ. Προβολών : 0
