ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Φραγκίσκος Κουτελιέρης
Σε γενικές γραμμές, η Άλγεβρα είναι επαρκής για να περιγραφούν διαδικασίες προσδιορισμού της τιμής φυσικών μεγεθών που αφορούν σε φυσικά προβλήματα. Όμως, στην πλειοψηφία των εφαρμογών που αφορούν στα διάφορα επιστημονικά πεδία, εμπλέκονται στη μαθηματική περιγραφή και οι ρυθμοί μεταβολής των φυσικών μεγεθών, κυρίως επειδή είναι συχνά ευκολότερο να προσδιοριστούν. Ο συσχετισμός του ρυθμού μεταβολής ενός μεγέθους με το ίδιο το μέγεθος οδηγεί σε διαφορική εξίσωση, δηλ. σε εξίσωση όπου η άγνωστη ποσότητα είναι συνάρτηση.
Αυτές οι εξισώσεις είναι το κύριο εργαλείο περιγραφής του φυσικού κόσμου και κατηγοριοποιούνται σε δυο μεγάλες ομάδες: τις Συνήθεις και τις Μερικές διαφορικές εξισώσεις. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) ονομάζονται αυτές όπου η άγνωστη συνάρτηση εξαρτάται από μια μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή (και άρα ο ρυθμός μεταβολής αντιστοιχεί σε παράγωγο) ενώ Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) ονομάζονται αυτές όπου η άγνωστη συνάρτηση εξαρτάται από περισσότερες της μιας ανεξάρτητες μεταβλητές (και άρα ο ρυθμός μεταβολής αντιστοιχεί σε μερικές παράγωγους). Παρόλο που οι δεύτερες έχουν μεγάλη ευρύτητα εφαρμογών, οι πρώτες αποτελούν τη βάση για την ανάπτυξη της θεωρίας επίλυσης διαφορικών εξισώσεων και γι? αυτό αποτελούν αντικείμενο αδιάλειπτης μελέτης και εφαρμογής για περισσότερο από μισή χιλιετία.. Ένας επιπρόσθετος λόγος γι? αυτή την εκτεταμένη σπουδή είναι ότι οι ΜΔΕ σπανίως επιλύονται με αναλυτικό τρόπο ενώ η πλειοψηφία των ΣΔΕ τυγχάνει αναλυτικής λύσης.
ΛιγότεραΣε γενικές γραμμές, η Άλγεβρα είναι επαρκής για να περιγραφούν διαδικασίες προσδιορισμού της τιμής φυσικών μεγεθών που αφορούν σε φυσικά προβλήματα. Όμως, στην πλειοψηφία των εφαρμογών που αφορούν στα διάφορα επιστημονικά πεδία, εμπλέκονται στη μαθηματική περιγραφή και οι ρυθμοί μεταβολής των φυσικών μεγεθών, κυρίως επειδή είναι συχνά ευκολότερο να προσδιοριστούν. Ο συσχετισμός του ρυθμού μεταβολής ενός μεγέθους με το ίδιο το μέγεθος οδηγεί σε διαφορική εξίσωση, δηλ. σε εξίσωση όπου η άγνωστη ποσότητα είναι συνάρτηση.
Αυτές οι εξισώσεις είναι το κύριο εργαλείο περιγραφής του φυσικού κόσμου και κατηγοριοποιούνται σε δυο μεγάλες ομάδες: τις Συνήθεις και τις Μερικές διαφορικές εξισώσεις. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) ονομάζονται αυτές όπου η άγνωστη συνάρτηση εξαρτάται από μια μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή (και άρα ο ρυθμός μεταβολής αντιστοιχεί σε παράγωγο) ενώ Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) ονομάζονται αυτές όπου η άγνωστη συνάρτηση εξαρτάται από περισσότερες της μιας ανεξάρτητες
Σε γενικές γραμμές, η Άλγεβρα είναι επαρκής για να περιγραφούν διαδικασίες προσδιορισμού της τιμής φυσικών μεγεθών που αφορούν σε φυσικά προβλήματα. Όμως, στην πλειοψηφία των εφαρμογών που αφορούν στα διάφορα επιστημονικά πεδία, εμπλέκονται στη μαθηματική περιγραφή και οι ρυθμοί μεταβολής των φυσικών μεγεθών, κυρίως επειδή είναι συχνά ευκολότερο να προσδιοριστούν. Ο συσχετισμός του ρυθμού μεταβολής ενός μεγέθους με το ίδιο το μέγεθος οδηγεί σε διαφορική εξίσωση, δηλ. σε εξίσωση όπου η άγνωστη ποσότητα είναι συνάρτηση.
Αυτές οι εξισώσεις είναι το κύριο εργαλείο περιγραφής του φυσικού κόσμου και κατηγοριοποιούνται σε δυο μεγάλες ομάδες: τις Συνήθεις και τις Μερικές διαφορικές εξισώσεις. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) ονομάζονται αυτές όπου η άγνωστη συνάρτηση εξαρτάται από μια μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή (και άρα ο ρυθμός μεταβολής αντιστοιχεί σε παράγωγο) ενώ Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) ονομάζονται αυτές όπου η άγνωστη συνάρτηση εξαρτάται από περισσότερες της μιας ανεξάρτητες
Η ενότητα αυτή περιέχει μια Εισαγωγή στις έννοιες που αφορούν στις ΣΔΕ και στα μεγέθη που τις χαρακτηρίζουν.
Η ενότητα αυτή περιλαμβάνει τεχνικές επίλυσης ΣΔΕ 1ης τάξης. Πιο συγκεκριμένα, περιγράφονται η μέθοδος Χωριζόμενων Μεταβλητών, οι Γραμμικές εξισώσεις και η Εξίσωση Bernulli.
Στην ενότητα αυτή περιγράφεται η επίλυση Γραμμικών ΣΔΕ ανώτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, ομογενών ή μη.
Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τεχνικές επίλυσης γραμμικών συστημάτων ΣΔΕ.
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 0
Αρ. Προβολών : 0
