Γενικά Μαθηματικά ΙΙ
Αθανάσιος Ανδρικόπουλος, Ευάγγελος Στεφανόπουλος
1. Απειροστικός Λογισμός.
- Δυναμοσειρές, ακτίνα σύγκλισης και διάστημα σύγκλισης
- Όρια και συνέχεια συναρτήσεων περισσοτέρων μεταβλητών.
- Μερικές παράγωγοι, η παράγωγος και ιδιότητες της παραγώγου
- Κλίση και κατά κατεύθυνση παράγωγος.
- Το θεώρημα του Taylor, ακρότατα και ακρότατα υπό συνθήκη, πολλαπλασιαστές Lagrange.
- Πολικές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες.
- Το διπλό ολοκλήρωμα, αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης, Ιακωβιανή και αλλαγή μεταβλητών.
- Το τριπλό ολοκλήρωμα, αλλαγή μεταβλητών.
- Διανυσματικά πεδία, απόκλιση και στροβιλισμός.
- Επικαμπύλια ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους.
- Επιφάνειες και εμβαδόν επιφανείας.
- Ολοκληρώματα βαθμωτών συναρτήσεων σε επιφάνειες
2. Μιγαδικές συναρτήσεις.
- Συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής.
- Η μιγαδική παράγωγος και αναλυτικές συναρτήσεις.
- Μιγαδική ολοκλήρωση, Το θεώρημα του Cauchy, Ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy.
3. Διαφορικές εξισώσεις ΙΙ.
- Γραμμικές εξισώσεις 2ης τάξης.
- Χώροι λύσεων, ειδικές και γενικές λύσεις. o Συστήματα διαφορικών εξισώσεων.
- Το επίπεδο φάσεων.
- Εφαρμογές.
1. Απειροστικός Λογισμός.
- Δυναμοσειρές, ακτίνα σύγκλισης και διάστημα σύγκλισης
- Όρια και συνέχεια συναρτήσεων περισσοτέρων μεταβλητών.
- Μερικές παράγωγοι, η παράγωγος και ιδιότητες της παραγώγου
- Κλίση και κατά κατεύθυνση παράγωγος.
- Το θεώρημα του Taylor, ακρότατα και ακρότατα υπό συνθήκη, πολλαπλασιαστές Lagrange.
- Πολικές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες.
- Το διπλό ολοκλήρωμα, αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης, Ιακωβιανή και αλλαγή μεταβλητών.
- Το τριπλό ολοκλήρωμα, αλλαγή μεταβλητών.
- Διανυσματικά πεδία, απόκλιση και στροβιλισμός.
- Επικαμπύλια ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους.
- Επιφάνειες και εμβαδόν επιφανείας.
- Ολοκληρώματα βαθμωτών συναρτήσεων σε επιφάνειες
2. Μιγαδικές συναρτήσεις.
- Συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής.
- Η μιγαδική παράγωγος και αναλυτικές συναρτήσεις.
- Μιγαδική ολοκλήρωση, Το θεώρημα του Cauchy, Ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy.
3. Διαφορικές εξισώσεις ΙΙ.
- Γραμμικές εξισώσεις 2ης τα
1. Απειροστικός Λογισμός.
- Δυναμοσειρές, ακτίνα σύγκλισης και διάστημα σύγκλισης
- Όρια και συνέχεια συναρτήσεων περισσοτέρων μεταβλητών.
- Μερικές παράγωγοι, η παράγωγος και ιδιότητες της παραγώγου
- Κλίση και κατά κατεύθυνση παράγωγος.
- Το θεώρημα του Taylor, ακρότατα και ακρότατα υπό συνθήκη, πολλαπλασιαστές Lagrange.
- Πολικές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες.
- Το διπλό ολοκλήρωμα, αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης, Ιακωβιανή και αλλαγή μεταβλητών.
- Το τριπλό ολοκλήρωμα, αλλαγή μεταβλητών.
- Διανυσματικά πεδία, απόκλιση και στροβιλισμός.
- Επικαμπύλια ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους.
- Επιφάνειες και εμβαδόν επιφανείας.
- Ολοκληρώματα βαθμωτών συναρτήσεων σε επιφάνειες
2. Μιγαδικές συναρτήσεις.
- Συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής.
- Η μιγαδική παράγωγος και αναλυτικές συναρτήσεις.
- Μιγαδική ολοκλήρωση, Το θεώρημα του Cauchy, Ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy.
3. Διαφορικές εξισώσεις ΙΙ.
- Γραμμικές εξισώσεις 2ης τα
Περίγραμμα
Μέθοδοι αξιολόγησης
Οι μέθοδοι αξιολόγησης για τα Γενικά Μαθηματικά ΙΙ έχουν την εξής δομή:
- Τελική εξέταση:
-
- 90% της τελικής βαθμολογίας
- Πρόοδος εργαστηρίου:
-
- 10% της τελικής βαθμολογίας
- Project εργαστηρίου:
-
- Δύο εργασίες συνολικά με βαθμολογία έως και 1 μονάδα η καθεμία που αθροίζονται στον τελικό βαθμό αν είναι προβιβάσιμος.
Μαθησιακοί στόχοι
Με την ολοκλήρωση της διδασκαλίας του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι ικανοί:
-
Να βρίσκουν την ακτίνα και το διάστημα σύγκλισης μιας δυναμοσειράς και να γνωρίζουν πως να αθροίζουν, παραγωγίζουν και ολοκληρώνουν δυναμοσειρές.
-
Να βρίσκουν το όριο και να μπορούν να ελέγχουν την συνέχεια απλών συναρτήσεων δύο ή τριών μεταβλητών.
-
Να βρίσκουν τις μερικές παραγώγους, την κατά κατεύθυνση παράγωγο, την παράγωγο και την κλίση απλών συναρτήσεων δύο ή τριών μεταβλητών.
-
Να γνωρίζουν το θεώρημα του Taylor, και να βρίσκουν τα ακρότατα συναρτήσεων, καθώς και τα ακρότατα υπό συνθήκη με τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange.
-
Να μπορούν να υπολογίζουν διπλά και τριπλά ολοκληρώματα, αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης και σύστημα.
-
Να βρίσκουν την απόκλιση και το στροβιλισμό διανυσματικού πεδίου.
-
Να μπορούν να υπολογίζουν επικαμπύλια ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους.
-
Να γνωρίζουν πως να περιγράφουν μια απλή επιφάνεια, πως να υπολογίζουν το εμβαδό
της και πως να υπολογίζουν ολοκληρώματα βαθμωτών συναρτήσεων σε επιφάνειες.
-
Να γνωρίζουν τη μιγαδική παράγωγο απλών συναρτήσεων.
-
Να μπορούν να υπολογίζουν επικαμπύλια ολοκληρώματα μιγαδικών συναρτήσεων και να
γνωρίζουν τον τύπο του Cauchy για αναλυτικές συναρτήσεις σε απλά συνεκτικά χωρία.
-
Να μπορούν να βρίσκουν ειδικές και γενικές λύσεις καθώς και το χώρο λύσεων, απλών
γραμμικών εξισώσεων 2ης τάξης.
-
Να μπορούν να δώσουν τη λύση σε απλά γραμμικά κυρίως συστήματα διαφορικών
εξισώσεων.
-
Να μπορούν να περιγράψουν το επίπεδο φάσεων σε πολύ απλές χαρακτηριστικές
περιπτώσεις.
Οι μέθοδοι αξιολόγησης για τα Γενικά Μαθηματικά ΙΙ έχουν την εξής δομή:
- Τελική εξέταση:
-
- 90% της τελικής βαθμολογίας
- 90% της τελικής βαθμολογίας
-
- Πρόοδος εργαστηρίου:
-
- 10% της τελικής βαθμολογίας
- 10% της τελικής βαθμολογίας
-
- Project εργαστηρίου:
-
- Δύο εργασίες συνολικά με βαθμολογία έως και 1 μονάδα η καθεμία που αθροίζονται στον τελικό βαθμό αν είναι προβιβάσιμος.
-
Με την ολοκλήρωση της διδασκαλίας του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι ικανοί:
-
Να βρίσκουν την ακτίνα και το διάστημα σύγκλισης μιας δυναμοσειράς και να γνωρίζουν πως να αθροίζουν, παραγωγίζουν και ολοκληρώνουν δυναμοσειρές.
-
Να βρίσκουν το όριο και να μπορούν να ελέγχουν την συνέχεια απλών συναρτήσεων δύο ή τριών μεταβλητών.
-
Να βρίσκουν τις μερικές παραγώγους, την κατά κατεύθυνση παράγωγο, την παράγωγο και την κλίση απλών συναρτήσεων δύο ή τριών μεταβλητών.
-
Να γνωρίζουν το θεώρημα του Taylor, και να βρίσκουν τα ακρότατα συναρτήσεων, καθώς και τα ακρότατα υπό συνθήκη με τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange.
-
Να μπορούν να υπολογίζουν διπλά και τριπλά ολοκληρώματα, αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης και σύστημα.
-
Να βρίσκουν την απόκλιση και το στροβιλισμό διανυσματικού πεδίου.
-
Να μπορούν να υπολογίζουν επικαμπύλια ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους.
-
Να γνωρίζουν πως να περιγράφουν μια απλή επιφάνεια, πως να υπολογίζουν το εμβαδό
της και πως να υπολογίζουν ολοκληρώματα βαθμωτών συναρτήσεων σε επιφάνειες.
-
Να γνωρίζουν τη μιγαδική παράγωγο απλών συναρτήσεων.
-
Να μπορούν να υπολογίζουν επικαμπύλια ολοκληρώματα μιγαδικών συναρτήσεων και να
γνωρίζουν τον τύπο του Cauchy για αναλυτικές συναρτήσεις σε απλά συνεκτικά χωρία.
-
Να μπορούν να βρίσκουν ειδικές και γενικές λύσεις καθώς και το χώρο λύσεων, απλών
γραμμικών εξισώσεων 2ης τάξης.
-
Να μπορούν να δώσουν τη λύση σε απλά γραμμικά κυρίως συστήματα διαφορικών
εξισώσεων.
-
Να μπορούν να περιγράψουν το επίπεδο φάσεων σε πολύ απλές χαρακτηριστικές
περιπτώσεις.
